6. Алгоритм графічного методу розвязку задач лп, що містять дві змінні.

1. записуємо цільову функцію та обмеження

2.приводимо систему обмежень до канонічної форми

3.знаходимо рівняння прямої

4. Визначаємо півплощини, що відповідають кожному обмеженню задачі. 5. Знаходимо багатокутник розв’язків задачі лінійного програмування. 6. Будуємо вектор  , що задає напрям зростання значення цільової функції задачі. 7. Будуємо пряму с₁х₁+с₂х₂=const, перпендикулярну до вектора  . 8. Рухаючи пряму с₁х₁+с₂х₂=const в напрямку вектора   (для задачі максимізації) або в протилежному напрямі  (для задачі мінімізації), знаходимо вершину багатокутника розв’язків, де цільова функція набирає екстремального значення. 9. Визначаємо координати точки, в якій цільова функція набирає максимального (мінімального) значення, і обчислюємо екстремальне значення цільової функції в цій точці.

7. Форми запису задач лп, їх еквівалентність та способи перетворення.

Існують три форми запису математичних моделей задач лінійного програмування:

1. Загальна форма запису:

max (min) Z = c₁x₁ + c₂x₂ +…+ c_nx_n

Особливістю цієї форми є те,що в системі обмежень одночасно будуть причутні або нерівності обох видів ("≥", "≤") або ж нерівності і рівняння. Така модель з’являється після побудови математичної моделі конкретної економічної задачі.

2. Стандартна форма запису або симетрична

Особливості форми запису:

1. На усі невідомі, що є в задачі обов’язково накладається умова невід’ємності.

2. Якщо задача на мінімум, то усі основні обмеження є нерівностями виду "≥".

3. Якщо задача на максимум, то усі основні обмеження є нерівностями виду "≤".

3. Канонічна форма запису:

Особливості форми запису:

1. Усі основні обмеження є рівняння.

2. На усі невідомі задачі обов’язково накладається умова невід’ємності.

Усі три форми є еквівалентними Шляхи переходу від однієї форми запису до іншої:

1. Якщо задача на максимум, то її завжди можна записати як задачу на пошук мінімуму і навпаки.

2. Будь-яку нерівність виду можна представити у вигляді нерівності і навпаки. Тобто, щоб змінити знак нерівності, потрібно обидві частини помножити на -1.

3. Будь-яку нерівність виду можна представити у вигляді рівнянь:

4. Будь-яку нерівність виду можна представити у вигляді рівняння , де

5. Будь-яке рівняння можна представити у вигляді системи нерівностей:

Якщо деяка змінна х_і може набувати як додатніх, так вигляді різниці двох невід’ємних змінних.

8. Знаходження опорного розвязку . Симплексні таблиці, симплексні перетворення. Критерії оптимального розвязку задачі лп.

Опорний розвязок(план) – невідємні базисні розвязки + значення базисних змінних в опорному розвязку.

Базисні розвязки – це частинний розвязок, який знаходиться якщо надати всім вільним змінним значення нуля і обчислити базисні.

Базисні змінні – це змінні які не повторюються в рівнянні двічі і перед ними стоїть коефіцієнт додатній.

Алгоритм симплексного методу

1. Визначення опорного розвязку

2. Побудова симплексної таблиці –

3. Перевірка опорного плану на оптимальність за допомогою чисел індексного рядка. Якщо умова оптимальності не виконується, то переходять до нового опорного плану з визначенням ключового елементу, поки не отримаємо оптимальний план.

4. Критерієм оптимального розвязку задачі на максимум є відсутність відємних чисел в рядку оцінок, критерієм оптимального розвязку задачі на мінімумм є відсутність додатніх чисел в рядку оцінок.

У стовпці «Базис» записані змінні, що відповідають базисним векторам, а в стовпці «С_баз» – коефіцієнти функціонала відповідних базисних векторів. У стовпці «План» – початковий опорний план  , в цьому ж стовпці в результаті обчислень отримують оптимальний план. У стовпцях   записані коефіцієн­ти розкладу кожного j-го вектора за базисом, які відповідають у пер­шій симплексній таблиці коефіцієнтам при змінних у системі (4.2). У (m+1)-му рядку в стовпці «План» записують значення функціонала для початкового опорного плану, а в інших стовпцях  – значення оцінок . Цей рядок симплексної таблиці називають оцінковим.

Для того, щоб задачу можна було розв’язати симплексним методом необхідно:

1. Математичну модель представити у канонічній формі.

2. Знайти опорний розв’язок.

3. Скласти початкову симплексну таблицю.

Для того, щоб знайти опорний розв’язок, необхідно щоб:

1. Вільні члени рівнянь стояли з правої сторони і були невід’ємними.

2. В системі обмежень повинен бути виділений базис.

Базисними називають змінні, які задовольняють наступні умови:

1. Біля базисної змінної стоїть коефіцієнт +1.

2. Базисна змінна міститься тільки в 1 рівнянні.

3. Різні базисні змінні повинні міститись в різних рівняннях.

4. Кількість базисних змінних повинна бути рівна кількості рівнянь, тобто кожне рівняння повинно містити свою змінну.

Усі інші змінні в системі називаються вільними. Якщо вільним змінним надати значення 0 і обчислити чому рівні базисні, то знайдемо базисний розв’язок системи.

Опорним називають базисний розв’язок, який не містить від’ємних чисел.

Серед опорних розв’язків і міститься оптимальний розв’язок, що максимізує чи мінімізує цільову функцію.

Суть симплексного методу полягає в тому, що ми перебираємо опорні розв’язки і за певним критерієм оцінюємо їх на оптимальність.

Початкова симплексна таблиця

Стовпчик БЗ – записують базисні змінні.

Стовпчик Сб – коефіцієнти, які стоять при базисних змінних і цільовій функції.

Стовпчик х₀ – значення базисних змінних в опорному розв’язку.

Рядок 1 – коефіцієнти цільової функції задачі.

Рядок 2 – записуються коефіцієнти, які стоять при відповідних змінних в системі основних обмежень.

Клітинка 3 – значення цільової функції при даному опорному розв’язку. Необхідно число стовпчика Сб помножити на відповідні числа стовпчика х₀ і добутки додати.

Рядок 4 – записуються оцінки відповідних змінних. Необхідно числа стовпчика Сб помножити на відповідні числа стовпчика змінної, добутки додати і відняти верхнє число. Оцінки базисних змінних завжди будуть дорівнювати нулю.

Якщо задача на знаходження максимуму цільової функції, то знайдений опорний розв’язок буде оптимальним, коли усі оцінки змінних є невід’ємними.

Якщо задача на знаходження мінімуму, то критерієм оптимальності є відсутність додатніх оцінок, тобто усі оцінки від’ємні або дорівнюють нулю.