21. Поняття про принципи оптимальності Беллмана та його застосування

Розв’язувальні правила звичайно виводяться за допомогою принципу оптимальності Беллмана. Суть принципу оптимальності така. Нехай критерій   (задається формулою або алгоритмом), який дає числову оцінку якості варіанта (послідовності)  , можна застосовувати не тільки до всієї послідовності, але і до будь-якого її початкового відрізку  . Послідовність  , якій відповідає екстремальне значення критерію  , називається оптимальною. Якщо будь-який початковий відрізок оптимальної послідовності також оптимальний (в класі всіх послідовностей, складених з тих же елементів, і можливо, такий, що має ті ж початок і кінець, що і даний відрізок), то вважають, що для відповідної задачі справедливий принцип оптимальності.

22.Загальна постановка задачі схоластичного програмування, її особливості щодо оперативного управління та перспективного планування. Класифікація

Задача стохастичного програмування:

,

,

, ,

де Ω — простір подій ω.

Залежно від можливості отримати та врахувати інформацію стосовно детермінованості (стохастичності) функцій , постановки задач стохастичного програмування можуть містити:

1. стохастичні коефіцієнти цільової функції та детерміновані обмеження;

2. детерміновані коефіцієнти цільової функції та стохастичні вільні члени і коефіцієнти системи обмежень;

3. стохастичні коефіцієнти цільової функції, вільні члени і коефіцієнти системи обмежень.

У стохастичному програмуванні особливості побудови математичних моделей задач пов’язані з можливостями вибору виду функції мети та обмежень, тобто за одного набору початкових значень можна отримати математичні моделі, що суттєво відрізнятимуться, а отже, значні розбіжності матимуть і отримані за ними оптимальні плани.

Задачі стохастичного програмування поділяються на статичні та динамічні.

Для того щоб задача стохастичного програмування мала сенс, необхідно відповісти на три запитання:

1.         Як розуміти векторх? Він також має бути випадковим (тобто кожному со відповідає своє рішення х(со), яке визначається стан-дартними правилами лінійного програмування), чи детермінова-ним, який не змінюється при випадкових варіаціях параметрів моделі?

2.         Як розуміти максимізацію цільової функції? Як максиміза-цію абсолютну для усіх COEQ, чи максимізацію її математичного сподівання, чи максимізацію деякої іншої її імовірнісної харак-теристики?

3.         Як розуміти виконання обмежень: абсолютно для всіх COEQ, чи у середньому, чи допускати їх порушення з малою ймо-вірністю тощо?

Під час вирішення цих питань доводиться виходити не лише із математичних міркувань, а й із економічного змісту та евристич-них міркувань, якими слід керуватися при дослідженні та моде-люванні систем з ризиком.

23. Методи розв’язання задач схоластичного програрамування (непрямі, прямі), приклади їх реалізації Методи розв’язування стохастичних задач поділяють на дві групи — прямі та непрямі.

Прямі методи використовують для розв’язування задач стохастичного програмування, коли існують способи побудови функцій   і   на базі інформації щодо параметра ω. Непрямими є методи зведення стохастичної задачі до задачі лінійного чи нелінійного програмування, тобто перехід до детермінованого аналога задачі стохастичного програмування.

24. Основні поняття теорії ігор. Приклади ігрових задач в економіці та менеджменті. Матричні ігри двох осіб. Платжна матриця Теорія ігор — це математичний апарат, що розглядає конфліктні ситуації, а також ситуації спільних дій кількох учасників. Завдання теорії ігор полягає у розробленні рекомендацій щодо раціональної поведінки учасників гри.

Реальні конфліктні ситуації досить складні і обтяжені великою кількістю несуттєвих чинників, що ускладнює їх аналіз, тому на практиці будують спрощені моделі конфліктних ситуацій, які називають іграми.

Характерними рисами математичної моделі ігрової ситуації є наявність, по-перше, кількох учасників, яких називають гравцями, по-друге, опису можливих дій кожної із сторін, що називаються стратегіями, по-третє, визначених результатів дій для кожного гравця, що подаються функціями виграшу. Задачею кожного гравця є знаходження оптимальної стратегії, яка за умови багатократного повторення гри забезпечує даному гравцю максимально можливий середній виграш.

сьогодні це:

 Математичні моделі торгів та аукціонів (мікрорівень).

 Виробнича поведінка фірм як на рівні продукту, так і на рівні його

виробництва, - включаючи також і поведінку внутрішніх для фір-

ми суб’єктів (на проміжному рівні економіки).

 Моделі конкуренції країн та торгівельна політика держав, монета-

рна політика (макрорівень)

Результати (плата) за всіма можливими варіантами гри задаються спеціальними функціями, які залежать від стратегій гравців, як правило, у вигляді платіжної матриці.

Нехай     — виграш гравця А;

   — виграш гравця В.

Оскільки гра з нульовою сумою, то 

Тоді в разі, якщо   то 

Отже, мета гравця А — максимізувати величину  , а гравця В — мінімізувати її. Нехай  тобто маємо матрицю А:

де рядки відповідають стратегіям Аі, а стовпці — стратегіям Bj.

Матриця А називається платіжною, а також матрицею гри. Елемент цієї матриці aij — це виграш гравця А, якщо він вибрав стратегію Ai, а гравець В — стратегію Bj.