
- •Информационно-технологический факультет Кафедра информационных технологий и управляющих систем
- •Контрольные вопросы и задачи к лекции 1
- •Лекция 2. Виды воздействий на сау
- •2.1. Классификация видов воздействий на сау Виды воздействий на сау описываются переходной, весовой, передаточной функциями.
- •2.2. Импульсные функции
- •Лекция 3. Преобразования Фурье и Лапласа
- •3.1. Преобразование Фурье
- •Лекция 4. Преобразование Лапласа
- •Контрольные вопросы и задачи к лекции 4
- •Лекция 5. Понятие линейного динамического звена
- •5.1. Уравнение линейного динамического звена
- •5.2. Передаточная функция линейного динамического звена
- •5.3. Структурная схема динамического звена
- •Контрольные вопросы и задачи к лекции 5
- •Лекция 6. Временные характеристики динамического звена
- •Контрольные вопросы и задачи к лекции 6
- •Лекция 7. Частотные характеристики динамического звена
- •Контрольные вопросы и задачи к лекции 7
- •Лекция 8. Элементарные (типовые) динамические звенья
- •Контрольные вопросы и задачи к лекции 8
- •Лекция 9. Временные и частотные характеристики звеньев
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция 7. Правила эквивалентных преобразований структурных схем систем автоматического управления
- •Принцип суперпозиции (наложения)
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция 8 Ориентированные графы систем автоматического управления
- •Использование формулы Мейсона для преобразования структурных схем и ориентированных графов
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция 9 Логарифмические частотные характеристики динамических звеньев
- •Логарифмические частотные характеристики элементарных динамических звеньев
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция 10 Логарифмические частотные характеристики систем автоматического управления
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция 11 Временные и частотные характеристики колебательного звена
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Семестр 2 Лекция 12 Понятие многомерной системы
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция 13 Структурные матричные схемы и передаточные матрицы
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция 14 Математические модели в пространстве состояний
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция 15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция 16 Методы оценки качества систем управления
- •Оценка качества переходного процесса при воздействии ступенчатой функции
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция 17 Оценка качества при гармонических воздействиях
- •Лекция 9. Интегральные оценки качества сау
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция 18 Вычисление линейных интегральных оценок
- •Квадратичная интегральная оценка
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция 19 Квадратичная интегральная оценка с учетом производной
- •Вычисление квадратичных интегральных оценок
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция 20 Корневые критерии качества переходных процессов
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция 21 Определения и задачи идентификации математических моделей
- •Контрольные вопросы и задачи
Лекция 4. Преобразование Лапласа
Соотношение
называют прямым
преобразованием Лапласа. Комплексная
переменная
называется
оператором Лапласа, где
-
угловая частота,
-
некоторое положительное постоянное
число. Функция комплексной переменной
называется
изображением сигнала
по
Лапласу. Операция определения изображения
по оригиналу сокращенно записывается
-
,
где
-
символ прямого преобразования Лапласа.
Преобразование Лапласа обратимо, то есть, зная изображение по Лапласу, можно определить оригинал, используя соотношение обратного преобразования
или
,
где
-
символ обратного преобразования Лапласа.
Отметим, что
преобразование Лапласа изображает
исходную функцию лишь при
,
а поведение исходной функции при
никак
не сказывается на изображении. Класс
функций, преобразуемых по Лапласу,
значительно шире класса функций,
преобразуемых по Фурье. Практически
любые функции времени в ТАУ имеют
преобразование Лапласа.
Получим изображения по Лапласу для импульсных функций.
,
так как при ,
,
и
при
.
.
На практике для выполнения прямого и обратного преобразований Лапласа используются таблицы преобразований, фрагмент которой показан в табл. 1.
Таблица 1.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Таблицы преобразования
Лапласа могут быть использованы для
определения Фурье-изображений таких
абсолютно интегрируемых функций, которые
равны 0 при
.
Для получения Фурье-изображений в этом
случае достаточно положить в изображении
по Лапласу
.
В общем виде это выглядит как
,
если
при
и
Основные теоремы преобразования Лапласа
Теорема линейности. Любое линейное соотношение между функциями времени справедливо и для изображений по Лапласу этих функций;
;
Теорема о дифференцировании оригинала.
Если
и
,
то
,
где
-
начальное значение оригинала.
Для второй производной используют выражение
.
Для производной -го порядка справедливо следующее соотношение:
;
Для производной -го порядка при нулевых начальных условиях справедливо следующее соотношение:
;
то есть
дифференцирование
степени
оригинала по времени при нулевых
начальных условиях соответствует
умножению изображения на
.
Теорема об интегрировании оригинала.
;
Замечание
В области изображений по Лапласу сложные операции дифференцирования и интегрирования сводятся к операциям умножения и деления на , что позволяет переходить от дифференциальных и интегральных уравнений к алгебраическим. Это является главным достоинством преобразования Лапласа как математического аппарата теории автоматического управления.
Теорема запаздывания. Для любого
справедливо соотношение
;
Теорема о свертке (умножении изображений).
,
где
;
Теорема о предельных значениях. Если , то
если
существует.
Для нахождения оригинала функции по ее изображению используют обратное преобразование Лапласа. Функцию изображения необходимо представить в форме Хэвисайда, воспользовавшись необходимой формулой разложения дробно-рациональной функции. Полученную сумму простейших дробей подвергают обратному преобразованию Лапласа. Для этого можно воспользоваться таблицами преобразования Лапласа, которые определяют изображения многих временных функций. Фрагмент таблицы преобразования Лапласа приведен в табл. 1. В тех случаях, когда имеются комплексно-сопряженные полюсы изображения, необходимо преобразовать соответствующие простейшие дроби к виду, удобному для использования таблицы преобразования Лапласа. Существенно облегчает преобразование использование персонального компьютера с пакетами математических программ, содержащих функции прямого и обратного преобразований Лапласа.
Пример
Определим оригинал по изображению в виде дробно-рациональной функции
.
Используем разложение Хэвисайда для дробно-рациональной функции с одним нулевым полюсом. Тогда
.
Коэффициенты разложения имеют вид
.
Изображение в форме Хэвисайда имеет вид
.
Используем теорему о линейности и таблицу преобразований к каждому слагаемому, в результате получаем
.
График функции оригинала имеет вид, показанный на рис. 3.
Рис. 3
Кратко поясним алгоритм решения дифференциальных уравнений операторным методом на примере решения дифференциального уравнения 2 порядка в общем виде
,
где
,
,
.
Применим теорему о дифференцировании для нахождения изображений производных
,
.
Пусть
,
тогда
.
Получим операторное уравнение, используя теорему линейности
,
.
Решаем уравнение относительно ,
.
Найдем , используя переход к форме Хэвисайда (разложение Хэвисайда)
,
где
,
.
Особо следует обратить внимание на получение изображения производной ступенчатой единичной функции , которая определяется следующим образом:
Если использовать
,
то получается ошибочное решение, поэтому следует использовать называемые "левые" начальные условия
.
Справедливость этого можно легко проверить подстановкой решения в исходное дифференциальное уравнение.