Квадратичная интегральная оценка

 

В большинстве случаев, при возможности возникновения в системе колебательного переходного процесса, используют квадратичную интегральную оценку, которая имеет следующий вид –

(11)

Оценка не зависит от знака отклонений ошибки, а значит и от формы переходного процесса, монотонный, апериодический или колебательный характер он будет иметь. На рис. 5 и 6 показан примерный вид кривых изменения ошибки и квадрата ошибки.

Рис. 5

 

Рис. 6

Рассмотрим процедуру вычисления квадратичной оценки по математической модели системы. Система управления представляется в виде, показанном на рис. 7.

Рис. 7

Изображение по Лапласу сигнала на выходе системы имеет вид –

(12)

где - изображение по Лапласу единичной ступенчатой функции – входного сигнала системы.

Для системы автоматического управления, математическая модель которой приведена к виду (12), интегральная квадратичная ошибка определяется по следующему выражению –

(13)

где

(14)

в все элементы с индексами меньше 0 и больше заменяются 0.

Определители в (13), где , получаются заменой в определителе (14) ( )-го столбца столбцом следующего вида –

.

Коэффициенты в выражении (13) определяются следующим образом –

(15)

при определении коэффициенты, индексы которых меньше 0 и больше , заменяются 0.

Контрольные вопросы и задачи

1. Какие параметры математической модели объекта требуются для вычисления линейной интегральной оценки?

2. Почему нельзя использовать линейную интегральную оценку в случае колебательного характера переходных процессов?

3. Какие интегральные оценки целесообразно использовать в том случае если в системе возможно наличие колебательных переходных процессов?

4. Дайте определение квадратичной интегральной оценке переходного процесса.

5. При минимизации квадратичной оценки, к какому виду стремится переходный процесс?

6. Какие параметры математической модели объекта требуются для вычисления квадратичной интегральной оценки?

7. Объект управления описывается передаточной функцией –

.

Вычислите линейную интегральную оценку переходного процесса при начальном значении ошибки .

Ответ:

Линейная интегральная оценка .

8. Объект управления описывается передаточной функцией –

.

Вычислите линейную интегральную оценку переходного процесса при начальном значении ошибки .

Ответ:

Линейная интегральная оценка .

Лекция 19 Квадратичная интегральная оценка с учетом производной

 

 

Недостатком квадратичной интегральной оценки , как и предыдущих оценок, является то, что при минимизации оценки не накладываются ограничения на форму переходного процесса. На пример, показанные на рис. 1 графики – (а, б, в) могут иметь одинаковые значения существенно при этом отличаясь по форме переходного процесса.

Рис. 1

Кроме того, часто оказывается, что выбранные по параметры системы приводят к существенно колебательному процессу, большим производным из-за стремления приблизить процесс к идеальному скачку.

Поэтому используют еще один вид интегрально квадратичной оценки, в которой ограничение накладывается не только на величину отклонения , но и на скорость его изменения . Эта оценка имеет следующий вид –

(1)

где – некоторая постоянная времени.

Разницу между оценками и можно представить графически, как это показано на рис. 2.

Рис. 2

То есть оптимизированный по переходный процесс стремиться к идеальному скачку, а оптимизированный по – к кривой экспоненциального вида, которая описывается следующим выражением –

.

Докажем последнее утверждение. Для этого проанализируем выражение (1).

,

с учетом того, что

,

получаем

(2)

С учетом того, что последнее слагаемое в (2) является величиной постоянной –

,

квадратичная оценка будет иметь минимум при

(3)

Решение дифференциального уравнения (3) имеет вид –

,

а если перейти от ошибок к выходным переменным, то получим –

,

что и требовалось доказать.

Следовательно, выбирая параметры системы по , можно приблизить переходный процесс к экспоненте с заданной постоянной времени , тем самым вводится ограничение на скорость нарастания выходной величины .

Методика определения может быть аналогичной методике определения , рассмотренной выше, если представить квадратичную оценку с учетом производной в следующем виде –

,

где определяется по формулам для , но с учетом того, что порядок числителя – увеличивается на 1.

В теории автоматического управления используют квадратичные оценки с производными более высокого порядка (до ) для более точного задания желаемой формы переходного процесса, естественно, что при этом усложняется и процесс вычисления оценок.