Контрольные вопросы и задачи

1. Как можно использовать для получения частотных характеристик системы то, что систему можно представить в виде параллельно включенных типовых динамических звеньев?

2. Как соотносятся ЛАЧХ и ЛФЧХ динамических звеньев, передаточные функции которых являются взаимообратными?

3. На какие последовательно включенные типовые динамические звенья следует разбить реально дифференцирующее звено, чтобы получить его асимптотическую ЛАЧХ и ЛФЧХ?

4. На какие последовательно включенные типовые динамические звенья следует разбить интегрирующее звено с запаздыванием, чтобы получить его асимптотическую ЛАЧХ и ЛФЧХ?

5. На какие последовательно включенные типовые динамические звенья следует разбить пропорционально интегрирующее звено, чтобы получить его асимптотическую ЛАЧХ и ЛФЧХ?

6. Передаточная функция звена –

,

При какой частоте ЛФЧХ будет иметь значение .

Ответ:

При частоте .

7. Передаточная функция звена –

,

Как при частоте будут отличаться точная и асимптолическая ЛАЧХ этого звена?

Ответ:

Асимптотическая ЛАЧХ будет меньше точной на .

8. Передаточная функция объекта имеет вид –

,

Постройте асимптотическую ЛАЧХ объекта?

Ответ:

Лекция 11 Временные и частотные характеристики колебательного звена

 

 

Колебательное звено является элементарным динамическим звеном второго порядка, обладает тремя варьируемыми параметрами. Поэтому его характеристикам уделим более пристальное внимание. Тем более, что колебательным звеном описываются достаточно сложные элементы электромеханических систем и электроприводов, на пример, такой распространенный элемент как электродвигатель постоянного тока.

Передаточная функция колебательного звена –

(1)

где – коэффициент усиления, – постоянная времени, – коэффициент затухания.

Отличительной особенностью колебательного звена является то, что оно меняет не только свои свойства, но и название в зависимости от величины коэффициента затухания:

• если – звено называют колебательным, так как его временные характеристики носят колебательный характер;

• если – звено называют инерционным (апериодическим) звеном второго порядка, так как его временные характеристики носят монотонный характер, то есть колебания отсутствуют;

• если – звено называют консервативным, так как его временные характеристики имеют вид незатухающих колебаний, говорят, звено консервирует колебания.

Получим временные характеристики колебательного звена. Для этого преобразуем его передаточную функцию (1), вводя обозначения –

– показатель затухания,

– угловая частота колебаний,

(2)

Из таблиц преобразования Лапласа имеем –

Теперь мы можем определить импульсную характеристику колебательного звена –

(3)

Примерный вид импульсной характеристики показан на рис. 1.

Рис. 1

Определим переходную характеристику колебательного звена –

(4)

Примерный вид переходной характеристики показан на рис. 2.

Рис. 2

По рис. 1 и 2 можно легко судить, как влияют параметры колебательного звена временные характеристики.

Подвергнем более подробному анализу временные характеристики колебательного звена для случая , то есть, определим временные характеристики консервативного звена.

Передаточная функция консервативного звена имеет вид –

,

– угловая частота колебаний,

– показатель затухания.

тогда выражения временных характеристик (3) и (4) примут следующий вид –

(5)

(6)

Примерный вид характеристик консервативного звена показан на рис. 3 и 4.

Рис. 3

Рис. 4

Определим частотную характеристику колебательного звена.

(6)

ВЧХ –

(7)

МЧХ –

(8)

АЧХ –

(9)

ФЧХ –

(10)

Построим ВЧХ и МЧХ на одном графике, примерный вид характеристик показан на рис. 5.

Рис. 5

Примерный вид АФЧХ показан на рис. 6.

Рис. 6

Примерный вид АЧХ и ФЧХ показан на рис. 7 и 8, функция АЧХ имеет экстремум ( ) при

.

Рис. 7

Рис. 8

Рассмотрим частотные характеристики консервативного звена ( ).

.

При характеристики (см. рис. 9) имеют разрыв

.

Рис. 9

Определим ФЧХ консервативного звена –

Примерный вид ФЧХ показан на рис. 10.

Рис. 10

Определим логарифмические характеристики колебательного звена.

(11)

Определим асимптотическую ЛАЧХ колебательного звена

Наклон асимптоты –

.

Максимальное отклонение асимптотической ЛАЧХ от точной –

.

Примерный вид ЛАЧХ и ЛФЧХ показан на рис. 11.

Рис. 11

Для получения временных характеристик инерционного звена второго порядка ( ) пригодны и выражения (3) и (4), полученные выше для колебательного звена. Но они могут быть получены и иначе.

Если , можно преобразовать передаточную функцию звена –

(12)

где

.

Звено с передаточной функцией в виде (12), можно представить в идее двух апериодических звеньев, включенных последовательно, как это показано на рис. 12.

Рис. 12

Импульсные характеристики этих звеньев имеют вид –

.

Тогда импульсная характеристика инерционного звена второго порядка может быть получена с использованием теоремы преобразования Лапласа об умножении изображений –

(13)

Переходную характеристику получим, интегрируя (13) –

(14)

Примерный вид временных характеристик инерционного (апериодического) звена второго порядка показан на рис. 13.

Рис. 13

Получим асимптотическую ЛАЧХ для инерционного звена второго порядка, представляя его в виде двух последовательно включенных апериодических звеньев, (см. рис. 12).

На рис. 14 и 15 показаны ЛАЧХ инерционного звена второго порядка.

Рис. 14

Рис. 15