Лекция 8 Ориентированные графы систем автоматического управления
Математическую модель САУ можно наглядно представить с помощью ориентированных графов (орграфов).
Орграфы используются в сложных САУ, особенно при управлении и автоматизации технологических процессов в промышленности, когда описание в виде структурных схем становится громоздким и сложным для восприятия. Рассмотрим простейший орграф динамического звена САУ.
Рис. 1
Орграфом САУ является графическое представление САУ в виде совокупности вершин, соответствующих переменным, и дуг, соединяющих вершины.
Рассмотрим основные свойства орграфа:
Каждая дуга со стрелкой, указывающей направление распространения сигнала, изображает звено и характеризуется оператором изображаемого звена (передаточной функцией);
Каждой вершине, отмеченной кружком, ставится в соответствие одна из переменных САУ (изображение переменной по Лапласу);
Входная величина дуги равна переменной вершины, из которой эта дуга исходит;
Выходная величина дуги получается как результат преобразования оператором входной величины;
Если к вершине подходят несколько дуг, то соответствующая вершине переменная равна сумме выходных величин этих дуг (аналог суммирующего звена структурных схем);
Если из вершины исходит несколько дуг, то входные величины всех этих дуг одинаковы (аналог точки ветвления в структурных схемах).
Ориентированный граф (орграф) можно построить по структурной схеме и наоборот. При построении орграфа по структурной схеме необходимо придерживаться следующих правил:
Модифицируют структурную схему так, чтобы в сумматорах все переменные складывались с положительным знаком, отрицательные знаки вносятся в передаточные функции соответствующих звеньев;
Каждый сумматор структурной схемы заменяется вершиной, которой ставится в соответствие выходная переменная сумматора;
Каждое динамическое звено заменяется дугой с оператором, равным передаточной функции звена;
Каждой переменной, включая и входные воздействия, соответствует своя вершина.
Рассмотрим пример. На рис. 2 показана структурная исходная схема, на рис. 3 показан полученный орграф САУ.
Рис. 2
Рис. 3
Преобразовать орграф САУ можно, как и структурную схему, используя правила эквивалентных преобразований для орграфов, которые легко могут быть получены по аналогичным правилам для структурных схем.
Последовательное соединение динамических звеньев.
Параллельное соединение динамических звеньев.
Замкнутый контур с отрицательной обратной связью.
Замкнутый контур с положительной обратной связью.
Перенос точки ветвления через динамическое звено.
Перенос суммирующего звена через динамическое звено.
Использование формулы Мейсона для преобразования структурных схем и ориентированных графов
Когда структурная схема преобразована в орграф, для нахождения необходимой передаточной функции можно использовать формулу Мейсона (правило некасающихся контуров), которая позволяет получить передаточную функцию, связывающую переменные в сложных, многоконтурных САУ.
Рассмотрим общий вид формулы и поясним ее компоненты:
|
(1) |
где
-
передаточная функция
-го
отдельного прямого пути от
до
,
вычисленная как произведение передаточных
функций дуг, входящих в этот путь;
-
определитель орграфа.
|
(2) |
где
-
передаточная функция
-го
замкнутого контура, вычисленная как
произведение передаточных функций дуг,
входящих в этот контур;
-
произведение передаточных функций пары
(
-го
и
-го)
замкнутых контуров, не касающихся ни
дугами, ни вершинами, суммирование
осуществляется по всем парам некасающихся
контуров;
-
произведение тройки (
-го,
-го
и
-го)
некасающихся контуров, суммирование
производится по всем тройкам не касающихся
контуров.
- определитель
орграфа, полученного при удалении дуг
и вершин
-го
отдельного прямого пути, определяется
по формуле (2).
Поясним использование формулы Мейсона.
В начале выявляются все отдельные прямые пути между входной и выходной переменными, для которых необходимо определить передаточную функцию. Отдельным прямым путем считается такая последовательность дуг и вершин, которая соединяет вершины, соответствующие входному и выходному сигналам. При этом отдельный прямой путь не должен пересекать в вершинах сам себя.
Далее выявляются все замкнутые контуры в орграфе САУ. Замкнутым считается такой контур, когда между двумя вершинами имеется как прямая, так и обратная связь. Передаточная функция замкнутого контура определяется как произведение передаточных функций всех дуг, входящих в контур с учетом знаков.
После того как выявлены все замкнутые контуры орграфа, необходимо проанализировать – есть ли контуры, которые не касаются ни дугами, ни вершинами, есть ли пары, тройки и т. д. таких контуров.
На основании полученного формируется определитель орграфа по формуле (2).
Определители орграфов, полученных после изъятия -х отдельных прямых путей, также формируются по формуле (2), при этом учитываются только те контуры, которые остаются после изъятия -го прямого пути. Если после изъятия прямого пути не остается ни одного замкнутого контура, определитель такого орграфа принимается равным единице.
В качестве примера
определим передаточную функцию между
и
в
структурной схеме САУ, показанной на
рис. 4, полагая в соответствии с принципом
суперпозиции
.
Рис. 4
Преобразуем структурную схему в ориентированный граф (рис. 5).
Рис. 5
Определим прямые пути:
Определим замкнутые контуры:
Все контуры имеют общую дугу , поэтому некасающихся контуров нет. Определитель орграфа имеет вид
При изъятии 1-го или 2-го прямых путей в орграфе не сохраняется ни одного замкнутого контура, поэтому
Передаточная функция имеет вид
