Действия над десятичными дробями Сложение и вычитание десятичных дробей

Изучение сложения и вычитания десятичных дробей опирается на знание соответствующих действий с целыми числами.

Изучать действия сложения и вычитания целесообразно парал­лельно, т. е. после каждого случая сложения давать соответствую­щий по трудности случай вычитания.

Применение наглядных пособий и дидактического материала при изучении арифметических действий с десятичными дробями ограничено.

Средством наглядности служит сама запись арифметических примеров, особенно запись в столбик.

Итак, прежде чем знакомить учащихся со сложением и вычита­нием десятичных дробей, необходимо повторить сложение и вычи­тание целых чисел и обыкновенных дробей.

Последовательность и приемы вычисления

1. Сложение целого числа с десятичной дробью: 3+0,5; 4+0,13; 15+1,075.

2. Вычитание целого числа из десятичной дроби: 7,5—4; 7,85—3. Действия в обоих случаях выполняются устно (если целые

числа небольшие). До сознания учащихся необходимо довести, что целые складываются с целыми или из целого числа вычитает­ся целое, а дробная часть не изменяется. В этом случае можно сопоставить сложение целого числа с обыкновенной дробью:

3+0,5 и 3+5/10 = 3 5/1.

0

0,3

3. Сложение и вычитание десятичных дробей с одина­ ковым числом знаков без перехода через разряд:

0,4

0,3+0,4 0,14+1,25

7,4-1,3 3,42-1,31

3,124+7,835 4,356-2,135

Рис. 29

Действия сложения и вы­читания можно проиллюстри­ровать на метровой линейке, разделенной на дециметры и сантиметры, или на квадрате (рис. 29), разделенном на 10 равных полос и 100 клеток.

0,3+0,4=0,7 0,7-0,4=0,3

Учащиеся должны уяснить, что действия над десятичными дробя­ми выполняются по аналогии с действиями над целыми числами, т. е. складываются и вычитаются одноименные разрядные единицы или доли единицы. Если складываются и вычитаются десятичные дроби, число знаков в которых не превышало двух, то действие выполняется устно, если число знаков выше двух, то действие запи­сывается в столбик. Важно провести аналогию между записью в столбик примеров на многозначные числа и десятичные дроби и показать сходство и различие в записи и приемах вычислений:

3456 3,456 17285 17,285

+ 4243 ⁺ 4,243 ~ 9143 ~ 9,143

7695" 7,699 8142 8,142

4. Сложение и вычитание десятичных дробей с разным числом знаков без перехода через разряд:

3,7+1,21 4,91-3,7

3,7+0,235 3,935-3,7

0,71+5,246

5,956-0,71

При решении примеров такого вида учащиеся допускают ошиб­ки, складывая или вычитая доли разных разрядов. Поэтому на первых порах следует приводить компоненты к общему знаменате­лю, приписывая нули справа: 3,935—3,7 записывается так:

3,935 3,700

328

329

5. Сложение и вычитание с переходом через разряд:

а) сложение десятичных дробей, когда в результате сложения десятых долей получается единица: 0,8+0,2;

б) вычитание десятичной дроби из единицы (1—0,8):

0,8+0,2+1,0 1,0-0,8=0,2

в) сложение и вычитание десятичных дробей с переходом через разряд в одном разряде:

7,23+0,48 0,324+7,490 7,43-0,18 15,295-7,146 4,800+5,235 7,045-1,820

г) сложение и вычитание десятичных дробей с переходом через разряд в двух и более разрядах:

0,735+1,870 2,745-1,960 3,75+4,25 8,00-4,43

Следует требовать записывать нули так, где нужно уравнять число десятичных долей в компонентах действий сложения и вы­читания.

Рассуждения при сложении проводятся так: «Сложение начи­наем с тысячных долей: 5 тысячных плюс 0 тысячных получится 5 тысячных, 5 пишем под тысячными долями, к 3 сотым прибав­ляем 7 сотых, получаем 10 сотых, 0 сотых пишем под сотыми, 1 десятую запоминаем; складываем десятые доли, 7 десятых и 8 десятых — будет 15 десятых, да еще 1 десятая — будет 16 деся­тых, 6 десятых пишем под десятыми, 1 целую запоминаем; скла­дываем целые, целых 2. Сумма 2,605».

При вычитании рассуждения проводятся так:

10 10

5,135 ~ 0,243

4 ,892

«От 5 тысячных отнимаем 3 тысячных, будет 2 тысячных, записы­ваем их под тысячными; из 3 сотых 4 сотых вычесть нельзя, занимаем одну десятую; в одной десятой содержится 10 сотых, прибавим к ним 3 сотых, будет 13 сотых, из 13 сотых вычитаем 4 сотых, получаем 9 сотых и записываем под сотыми; вычитаем десятые, но в уменьшаемом десятых не осталось, поэтому занима-

330

ем одну целую, в одной целой 10 десятых, из 10 десятых вычитаем м 2 десятых, будет 8 десятых, подписываем их под десятыми, вычитаем целые и подписываем их под целыми. Так же как и при выполнении действий с целыми числами, над разрядом, из которо­го занимаем единицу, ставим точку».

Необходимо также решать с учащимися сложные примеры на сложение и вычитание десятичных дробей, примеры со скобками, с неизвестными компонентами, проводить проверку действии. При этом следует подчеркнуть, что при выполнении действий с деся­тичными дробями используются как переместительный, так и со­четательный законы сложения, так же как и при выполнении действий с целыми числами.

Умножение и деление десятичных дробей

Прежде чем перейти к методике знакомства с умножением и делением десятичных дробей, следует заметить, что согласно про­грамме по математике в школе VIII вида учащиеся знакомятся только с умножением и делением десятичной дроби на целое число. Случаи умножения и деления на десятичную дробь не рассматриваются.

Можно предложить следующую последовательность изучения умножения и деления десятичных дробей на целое число:

1. умножение и деление десятичных дробей на Ю, 100, 1000;

2. умножение и деление десятичных дробей на однозначное число;

3. умножение и деление десятичных дробей на круглые десятки;

4) умножение и деление десятичных дробей на двузначное число.

Действия умножения и деления рассматриваются параллельно, так как каждому случаю умножения соответствует определенный случай деления. Это позволит сопоставить взаимно обратные дей­ствия, выявить сходство и различие, осуществить проверку одного действия другим.