5. Інваріанти перетворення координат.

Нехай в результаті перетворення координат:

(38)

Тоді рівняння якоїсь прямої набирає вигляду:

.

Встановимо залежність між величинами u, v, w і u', v', w'. Насамперед будемо мати:

. (39)

Далі аналогічно до формул (16) і (18):

. (40)

Якщо порівняти рівності (39) і (40), то можемо побачити, що

або .

Отже, при переході до нової системи координат, матриці перетворення вейєрштрасових (а також однорідних) координат точки і координат прямої залишаються тими ж, а це означає що величини ξ, η, ζ (або однорідні координати x, y, z) і u, v, w змінюються когредієнтно.

Це міркування застосуємо до окремих випадків:

1. Нехай дано точки P₁ і P₂ з їх вейєрштрасовими координатами ξ₁, η₁, ζ₁ і ξ₂, η₂, ζ₂. Внаслідок когредієнтності цих змінних величина

(41)

є інваріант перетворення координат. З’ясуємо геометричний зміст величини . Приймемо точку P₁ за новий початок координат O', а пряму P₁P₂ за вісь O'X', що має напрям від P₁ до P₂ (рис. 30). Нехай P₁P₂ = d.

Визначимо нові координати точок P₁, P₂:

, , ,

, , .

Отже,

. (42)

Порівнюючи (41) і (42), дістаємо формулу:

, (43)

яка служить для визначення відстані між двома точками.

2. Нехай дано точку P її вейєрштрасовими координатами ξ, η, ζ і пряму l її нормальним рівнянням . Внаслідок когредієнтності змінних ξ, η, ζ і u, v, w величина

(44)

є інваріант перетворення координат. Для з’ясування її геометричного змісту візьмемо l за вісь O'X', а пряму, яка проходить через P і перпендикулярна до l, за вісь O'Y' (рис. 31). Позначимо відстань від точки P до прямої l через δ ( ). Визначимо нові координати точки P:

, ,

і нові координати прямої l:

, , .

Звідси

. (45)

Із (44) та (45) дістаємо формулу:

, (46)

Яка служить для визначення відстані від точки до прямої.

3. Нехай прямі l₁ і l₂ задані відповідно їх нормальними рівняннями: , .

Як і вище, можна зробити висновок, що величина

(47)

є інваріант перетворення координат.

Розглянемо такі випадки:

1. Прямі l₁ і l₂ перетинаються у власній точці й утворюють кут ϴ. Приймемо точку перетину цих прямих за новий початок координат O' і пряму l₁ за вісь O'X' (рис. 32).

Визначаємо нові координати даних прямих [порівнюючи (31)]:

, , .

, , .

Звідси

. (48)

Із (47) і (48) дістаємо формулу:

, (49)

яка служить для визначення кута між двома прямими, що перетинаються. Із (49) легко знаходимо умову перпендикулярності двох прямих:

. (50)

2. Нехай прямі l₁ і l₂ — паралельні. Приймемо l₁ за вісь за вісь O'X' і визначимо нові координати даних прямих [порівнюючи (36)]:

, , .

, , .

Звідси

(51)

Із (47) і (51) робимо висновок, що для паралельних прямих

(52)

с) Прямі l₁ і l₂ — розбіжні. Позначимо найкоротшу віддаль між цими прямими через Δ і позначимо їх спільний перпендикуляр за вісь O'X', а пряму l₁ за вісь O'Y' (рис. 33).

в изначимо нові координати прямих l₁ і l₂ [порівнюючи (32)]:

, , ,

, , .

Звідси

(53)

Порівнюючи (47) і (53), дістаємо формулу:

, (54)

яка служить для визначення найкоротшої відстані між двома розбіжними прямими.

Зіставляючи формули (49), (52) і (54) можна прийти до висновку, що:

прямі, задані нормальними рівняннями і , перетинаються у власній точці, будуть паралельні чи розбіжні, залежно від того, чи величина

_{менша, рівна чи більша одиниці.}