1.4 Пряма

Називатимемо всяку пряму власною прямою, якщо на ній буде хоча б одна власна точка.

Оскільки рівняння осі OX має вигляд , то беручи деяку власну пряму l за вісь O'X' можемо написати її рівняння так: ; але . Отже, дістанемо таке рівняння прямої l:

;

при цьому . Замінюючи коефіцієнти в рівнянні прямої l пропорційним їм величинам u, v –w, приходимо до твердження:

всяка власна пряма визначається рівнянням виду:

, (23)

де

. (24)

Рівняння (24) називатимемо нормальним, якщо

Величини u, v, w, називаються однорідними координатами прямої.

Доведемо наступне твердження:

Всяке рівняння при умові визначає деяку власну пряму.

Можна знайти дві системи чисел x₁, y₁, z₁, і x₂, y₂, z₂, елементи яких не пропорційні і будуть задовольняти рівняння (23):

,

. (25)

Вважаючи, що всяке однорідне рівняння типу визначає якусь криву як множину точок, координати яких задовольняють це рівняння, можна стверджувати, що точки P₁ і P₂ з координатами x₁, y₁, z₁, і x₂, y₂, z₂ належать лінії l, що визначається рівнянням (23). Проте може виявитися, що кожна з точок P₁, P₂ буде невласною. Для того, щоб з’ясувати, чи існують на l власні точки, покладемо:

,

, (26)

.

Останні рівності визначають нескінченну множину точок з координатами x, y, z, що задовольняють рівняння (23) при всіх λ і μ. Зауважимо, що кожному відношенню λ : μ відповідає одна і тільки одна точка.

Розглянемо тепер квадратичну форму ,яку за допомогою рівностей (26) можна подати так:

. (27)

Визначимо дискримінант D квадратичної відносно λ, μ форми (27):

.

Застосовуючи тотожність Ейлера-Лагранжа, дістанемо:

.

З рівнянь (25) маємо:

,

Отже,

. (28)

Звідси можна зробити висновок, що при умові (24) ; отже відношення λ : μ можна визначити так, щоб значення форми (27) були додатними, від’ємними або рівними нулеві; зокрема при належній величині відношення λ : μ будемо мати:

,

тобто точка (x : y : z) буде власною. З цих же міркувань випливає, що можна знайти дві власні точки, координати яких задовольнятимуть рівняння (23), не применшуючи загальності візьмемо точки P₁ і P₂ . Нехай рівняння власної прямої має P₁P₂ має вид:

.

Тоді:

,

.

Звідси та з рівностей (25) слідує, що u₁ : v₁ : w₁ = u : v : w, отже, дійсно, рівняння при умові визначає власну пряму.

Якщо

, (29)

То з (28) маємо: . В цьому випадку форма не міняє знака, але може перетворитися в нуль, якщо ; покажемо в цьому разі, що

. (30)

Якщо , то з (23) виходить, що , тому при будь-яких дійсних значеннях x і y. Якщо u і v не дорівнюють одночасно нулеві, то беручи , , , дістанемо систему значень величин x, y, z, що задовольняють як рівняння (23), так і нерівність . Звідси можна зробити висновок, що при наявності умови співвідношення завжди буде мати місце, тому не існує жодної власної точки, координати якої задовольняли б рівняння (23) при умові (29). Вважають, що і в цьому випадку рівняння (23) визначає пряму, яку називають ідеальною (невласною) прямою.

Із сказаного вище можна зробити такі висновки:

На дійсній прямій існує нескінченна множина власних точок, дві і тільки дві нескінченно далекі точки і нескінченна множина ідеальних точок.

Ідеальна пряма або вся складається з ідеальних точок, або, крім ідеальних точок, на ній є єдина нескінченно далека точка.

До евклідової площини, як відомо, можна приєднати нескінченно далеку пряму, яка розглядається як множина нескінченно далеких точок цієї площини. Але множина нескінченно далеких точок гіперболічної площини не утворює прямої лінії, тому тут не застосовуємо термін «нескінченно далека пряма».

Розглянемо далі різні випадки положення прямих в координатній площині:

1). Рівняння прямої, що проходить через початок координат.

Нехай пряма l проходить через початок координат і утворює з віссю OX кут α. Беручи l за вісь OX', будемо мати її рівняння у вигляді .

Але [див. (6)]

.

Звідси дістаємо рівняння прямої l в однорідних координатах x, y, z:

. (31)

2). Рівняння прямої, перпендикулярної до однієї з осей координат. Нехай пряма l перпендикулярна до осі OX і перетинає її в точці O', причому ОО' = δ. Візьмемо вісь OX за вісь O'X' і пряму l за вісь O'Y'.

В такому випадку рівняння даної прямої матиме вигляд: . Звідси, беручи до уваги, що

[див. (10)], дістанемо таке рівняння прямої l:

(32)

Аналогічно дістаємо рівняння прямої, що перпендикулярна до осі OY і перетинає її в точці, яка лежить на відстані δ від початку координат:

(33)

3). Рівняння прямої, паралельної одній з осей координат.

Нехай пряма l паралельна до осі OY в додатному її напрямі і перетинає вісь OX в точці O', причому ОО' = δ (рис.29). Вважатимемо точку O' за новий початок координат і пряму l за вісь O'Y'. Перехід до нової системи координат може бути здійснений шляхом трансляції осі OX, причому початок координат буде переміщений на відстань δ , і повороту осей координат на кут .

Застосовуючи формули (10) і (6), дістанемо:

,

,

.

Звідси

.

Але з формул (27) розділу I маємо:

, .

Отже,

.

Беручи до уваги, що рівняння осі O'Y' має вигляд , дістаємо таке рівняння прямої l:

. (34)

Якщо б пряма l проходила через точку O' і була паралельна осі OY в її від’ємному напрямі, то осі потрібно повернути на кут , і рівняння прямої l мало наступний вигляд:

. (35)

Аналогічно для прямих, що перетинають вісь OY в точці O' (ОО' = δ) і паралельна осі OX в її додатному і в її від’ємному напрямі, дістанемо такі рівняння:

. (36)

. (37)

Для кожного з рівнянь (31) – (37) буде задовільнятися умова:

;

Отже, ці рівняння є нормальні рівняння відповідних прямих.