3.4 Формули гіперболічної тригонометрії. Косокутний трикутник.

В косокутному трикутнику ABC побудуємо AD BC (рис. 24).

В ведемо позначення:

, , , , , ,

(k і А₂ дорівнюють нулеві, більше або менше від нуля залежно від того, чи буде кут АСВ прямим, гострим чи тупим).

Для цього трикутника справедлива теорема синусів:

(29)

і теорема косинусів:

(30)

Введемо ще формулу, що визначає сторону а трикутника ABC через його кути.

З допомогою формул (16), (17), (22), (23) знаходимо:

,

,

, .

З цих залежностей і формул (16), (17) можна рівності

надати вигляду:

На підставі формул (22) і (23) будемо мати:

, ;

отже,

. (31)

Розділ іі аналітична геометрія на площині лобачевського

§1. Координати точки. Різні випадки рівняння прямих

1.1 Полярні, веєрштрасові та однорідні координати точки

П обудуємо дві взаємно перпендикулярні прямі ОХ і ОY (Х і Y — нескінченно далекі точки). Будемо розглядати ці прямі як осі координат і будемо вважати додатними напрямами їх відповідно напрями від О до Х і від О до Y (рис. 25). Розглянемо в площині ХY, що визначається прямими ОХ, ОY, якусь точку P. Вважаючи точку О (початок координат) полюсом і промінь ОХ — полярною віссю, визначимо полярні координати ρ, φ, точки P.

Розглянемо так звані веєрштрасові координати точки P. Для цього побудуємо PQ ОХ, PR OY і позначимо через a і b довжини відрізків PR і PQ, взяті відповідно з тими знаками, що й проекції OQ і OR радіус-вектора OP точки P на осі ОХ, ОY.

За веєрштрасові координати ξ, η, ζ точки P візьмемо відповідно , , . Надалі для спрощення формул ми вважатимемо сталу r рівною одиниці. Використовуючи формули гіперболічної геометрії можна встановити наступні залежності між полярними і веєрштрасовими координатами точки:

,

, (1)

.

З наступної рівності

випливає існування такої тотожності:

. (2)

З рівності (1) також отримуємо, що , причому знак рівності має місце тоді і тільки тоді, коли точка P буде збігатися з початком координат.

Також ці три числа ξ, η, ζ ( ) визначають при умові (2) якусь точку площини як її координати. Справді, остання з рівностей (1) дає можливість знайти величину ρ (ρ>0), після чого з перших двох рівностей можна знайти величину кута φ з точністю до числа, кратного 2π.

Однорідними координатами точки ми будемо називати числа x, y, z пропорційні вейєрштрасовим координатам даної точки ξ, η, ζ і не рівні одночасно нулеві.

x : y : z = ξ : η : ζ.

З рівності (2) можна зробити висновок, що

(3)

Три числа x, y, z, які задовольнятимуть нерівність (3) також визначатимуть якусь точку площини як її однорідні координати і знаючи їх ми можемо однозначно визначити вейєрштрасові координати цієї точки.

Нехай k — коефіцієнт пропорційності. Тоді ξ=k x, η =k y, ζ=k z.

З рівності (2) отримуємо:

_,

_,

_,

Отже, вейєрштрасові координати точки будуть знаходитись з таких рівностей:

, , ,

Де знак перед радикалом визначається умовою ζ >0.

Якщо три числа x, y, z зв’язані рівністю

або нерівністю

,

то їх не можна розглядати як однорідні координати власної точки гіперболічної площини. Вважають, що координати x, y, z, які задовольняють першу нерівність визначають нескінченно далеку точку точку площини, а другу — ідеальну точку площини.