2.2 Кривина плоскої кривої

Нехай в точках Р і Р' плоскої кривої побудовані дотичні і нормалі до неї. Позначимо дугу РР' даної кривої через Δs, кут між побудованими дотичними – через Δθ, кут між побудованими нормалями – через Δψ. Величини

і (8)

називаються відповідно кривиною даної кривої в точці Р по дотичній і кривиною даної кривої в точці Р по нормалі.

Зауважимо, що в евклідовій геометрії , тому й K_n = K_t. В геометрії Лобачевського кривина кривої по дотичній завжди існує (якщо крива не має особливостей), а кривина по нормалі може й не існувати для певних точок або дуг кривої, бо нормалі з двох нескінченно близьких точках Р і Р' кривої можуть виявитися паралельними або розбіжними.

Можна довести, що в геометрії Лобачевського кривини кривої в якійсь її точці збігаються з кривинами в цій точці статичного кола, − тобто граничного положення кола, що проходить через три нескінченно близькі точки кривої. Якщо в якійсь точці кривої стичне коло вироджується в граничну лінію, еквідистанту або гіперболічну пряму, то в цій точці не існує кривини по нормалі.

Нехай у точці Р кривої побудоване статичне коло k; назвемо його радіус ρ радіусом кривини, його центр М – центром кривини даної кривої в точці Р. Знайдемо кривизни кола k в точці Р, вважаючи, що коло k не вироджується в граничну лінію, еквідистанту або гіперболічну пряму.

Нехай дотичні до k в точках Р і Р' перетинаються в точці Q (рис. 48). З прямокутного трикутника PQM, в якому

, , , ,

дістанемо:

,

.

З цих рівностей, зважаючи на формули (8), дістанемо:

(9)

(10)

Надалі ці формули ми будем застосовувати до вивчення деяких кривих гіперболічної площини. Введемо також декілька понять, які надалі будуть використовуватись.

Геометричне місце центрів кривини кривої називається її еволютою. Якщо стичне коло плоскої кривої в її точці Р вироджується в еквідистанту, то базис цієї еквідистанти називається віссю кривини даної кривої в точці Р. Обвідна осей кривини кривої називається її надеволютою.

2.3 Орициклоїда

Назвемо орициклоїдою криву, яку описує зафіксована на граничній лінії λ точка Р, коли λ котиться без ковзання по граничній лінії l.

Зобразимо лінії λ і l на карті Пуанкаре, що має вигляд півплощини η > 0 евклідової площини ξη. Нехай на цій карті гранична лінія l зображується у вигляді евклідової прямої η = 1; тоді гранична лінія λ зобразиться евклідовим колом, що дотикається до осі ξ і евклідової прямої η = 1 (рис. 49).

Нехай у початковому положенні точка Р, зафіксована на кривій λ, збігається з точкою Т перетину евклідових прямих ξ = 0 і η = 1. Якщо крива λ в новому положенні λ' зображується евклідовим колом, що дотикається до евклідових прямих ξ = 0 і η = 1 відповідно в точках то точка Р буде відмінною від N точкою перетину цього кола з евклідовою прямою ТN. Ця пряма є разом з тим і гіперболічною прямою – базисом еквідистанти ТN.

Встановлене вище правило побудови побудови точки Р можна підтвердити і безпосереднім обчисленням, які показують, що гіперболічні довжини дуг ТМ і РМ кривих l і λ' рівні одна одній.

Позначивши через θ, легко дістанемо параме- тричні рівняння образу орициклоїди на карті Пуанкаре:

, ,

а звідси, виключаючи параметр θ, знайдемо:

.

Доведемо, ще що нормаль до орициклоїди (11) в точці Р проходить через точку М. Для цього проведемо, через точки М і Р евклідове коло ­q, ортогональне до осі ξ. Це коло буде визначатися таким рівнянням:

Якщо С є центр кола q, а τ - кут, утворений віссю ξ і дотичною до q в точці Р, то

.

З другого боку, з рівняння (11) маємо:

Отже,

Звідси ми бачимо, що образ орициклоїди і евклідове коло q взаємно ортогональні. Разом з тим q зображає гіперболічну пряму, що є, як видно з

попереднього, нормаллю до орициклоїди в точці Р.