1.3 Рівняння граничної лінії

Виведемо рівняння граничної лінії, взявши за початок координат і за вісь абсцис відповідно точку О даної граничної лінії і її вісь OX.

З означення граничної лінії випливає, що полярні координати φ, ρ точки Р цієї лінії зв’язані залежністю:

Звідси на підставі рівності 26 з пункту 3.3 при дістанемо:

Визначимо тепер вейєрштрасові координати ξ, η, ζ точки Р:

Виключаючи звідси ρ, дістанемо рівняння граничної лінії у вейєрштрасових координатах:

(72)

Для того, щоб знайти рівняння граничної лінії в однорідних координатах, піднесемо обидві частини останньої рівності до квадрата і після цього замінимо одиницю на . Після спрощення отримаємо:

(73)

Звідси остаточний вигляд цього рівняння в однорідних координатах буде таким:

(74)

Якщо зробити трансляцію осі так, щоб початок координат збігся з точкою (sh a, 0, ch a), то рівняння (72) перейде в таке рівняння:

_або

(75)

Якщо криву другого порядку прийняти за напрямну конуса, вершина якого лежить поза площиною даної кривої, то побудований таким способом конус називається конусом другого порядку. Тому криві другого порядку гіперболічної площини, так само як і криві другого порядку гіперболічної площини називаються конічними перерізами.

Розділ ііі початки диференціальної геометрії гіперболічної площини

§1. Вейєрштрасові, полярні та прямокутні координати

1.1 Диференціал дуги. Вейєрштрасові координати

Нехай координати точок якоїсь кривої (вейєрштрасові, полярні або інші) виражаються неперервними функціями параметра t і нехай точкам A i B цієї кривої відповідають значення і параметра t. При зростанні t від до точка кривої пробігає якусь криву AB. Значенням:

відповідають точки:

(1)

дуги AB. Сполучаючи точки (1) послідовно відрізками прямих, дістанемо ламану лінію . Якщо існує границя периметра цієї ламаної при наближенні її сторін до нуля, то ця границя береться за довжину дуги AB.