5. Про перетин двох прямих

Однорідні координати x, y, z спільної точки двох власних прямих, заданих нормальними рівняннями:

,

,

можуть бути взяті рівними:

, , .

З цих рівностей, користуючись тотожністю Ейлера-Лагранжа, дістанемо:

.

Звідси робимо висновок (порівнюючи пункт 1.1 розділу 2 ), що спільна точка даних прямих буде власною, нескінченно далекою або ідеальною, залежно від того, чи буде величина

_{меншою, рівною чи більшою від одиниці. Цей результат повністю відповідає критерію вкінці попереднього пункту і означенню нескінченно далекої і ідеальної точок.}

5. Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки

_{Нехай пряма}

(55)

проходить через точки і . Тоді маємо тотожності:

. (56)

Виключаючи з рівностей (55) і (56) u, v, w, дістанемо таке рівняння прямої A₁A₂ :

(57)

Цю рівність можна розглядати також як умову того, що точки A₁, A₂ і лежать на одній прямій. Рівняння прямої A₁A₂ в однорідних координатах буде мати вигляд:

(58)

5. Координати середини відрізка

Нехай дано дві власні точки і . Позначимо довжину відрізка A₁A₂ через d. Покажемо, що координати ξ, η, ζ точки А, яка ділить відрізок A₁A₂ пополам, є

, . (59)

Для цього скористаємося умовою (57) належності трьох точок прямій:

отже, точки А, A₁ і A₂ лежать на одній прямій.

Далі знайдемо

,

отже, .

1. 9 Про уявні точки та прямі

Відомо, що запровадження уявних чисел привело до встановлення в алгебрі тверджень, що дозволили підвести математичні факти, які здавалися раніше розрізненими, під одну загальну точку зору; така, наприклад, основна теорема алгебри, яка твердить, що ціла алгебраїчна функ­ція п-го степеня від однієї незалежної змінної має точно п коренів. Запрова­дження уявних елементів у геометрії переслідує ту саму мету: з'ясування взаєм­ного зв'язку між рядом геометричних теорем і встановлення загальних точок зору на деякі питання геометрії.

Умовимося вважати точку Р(х; у; z) дійсною, якщо її однорідні коорди­нати х, у, z — дійсні числа або ж можуть бути зроблені дійсними шляхом множення на те саме належно вибране і відмінне від нуля число. В іншому разі точку Р ми будемо вважати уявною. Подібно до цього пряму (и: v: w) ми вважаємо дійсною або уявною залежно від того, чи можуть її однорідні координати и, v, w стати одночасно дійсними числами чи ні.

Дійсна точка (х; у; z) належить до власних, нескінченно далеких або іде­альних точок, залежно від того, який із знаків: верхній, середній чи нижній має місце у формулі :

,

якщо коорди­нати х, у, z — дійсні числа.

У множині уявних точок втрачається відмінність між власними і ідеаль­ними точками; наприклад, відношення і визначають, очевидно, ту саму точку, незважаючи на те, що , а .

Аналогічно критерій піднесення дійсної прямої (и: v: w), де координати и, v, w — дійсні числа, до класу власних прямих (при ), або до класу ідеальних прямих (при ), не може мати місця у випадку уявних прямих.

Окремо слід виділити дійсні і уявні нескінченно далекі точки (на підставі ознаки ) і ті дійсні та уявні прямі, однорідні координати яких задовольняють умову: . Важливу роль цих точок і прямих буде з'ясовано далі.