8. Нелинейная термодинамика –динамические модели процессов с двумя переменными

8.1. Точечные конечные состояния, классификация, фазовые портреты, эволюция систем

Запишем уравнение модели для системы с двумя переменными:

_1,2 = F_1,2 (q₁, q₂). (8.1)

Действуя так же как в предыдущем разделе определим особые точки, решив стационарные уравнения

F₁(q₁, q₂)=0;

F₂(q₁, q₂)=0. (8.2)

Получим стационарные решения q_1,2^(s). Придадим системе возмущения по обоим переменным q₁ и q₂:

(8.3)

Подставим q₁, q₂ в дифференциальные уравнения для F_1,2, разложим функции F_1,2 в ряд вблизи исследуемой особой точки q_1,2^(S), тогда в линейном приближении получим

, (8.4)

причем │q_1,2(s)

Будем искать решение полученной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в виде

;

, (8.5)

где А_ik - постоянные интегрирования, которые зависят от начальных значений q_1,2 (0).

Для определения р_1,2 запишем характеристическое уравнение системы дифференциальных уравнений (8.4)

= 0 (8.6)

если раскрыть определить, то получим

. (8.7)

Уравнение является квадратными относительно р, оно имеет два решения р₁ и р₂.

Исследуем всевозможные сочетания корней р₁, р₂. Их всего шесть:

• р₁, р₂ действительные отрицательные числа, тогда возмущения со временем «рассасываются» (показатели экспонент отрицательны); особая точка является устойчивым узлом; траектории вблизи устойчивого узла и зависимость от времени приведены на рис.8.1.

Рис.8.1. Траектория вблизи устойчивого узла (а) и поведение системы (б)

• р₁, р₂ действительные положительные числа, возмущения растут неограниченно; особая точка - неустойчивый узел, показан на рис.8.2.

Рис.8.2. Траектория вблизи неустойчивого узла (а) и поведение системы (б)

• р₁, р₂ действительные числа, имеющие разные знаки (одна из экспонент растет, другая убывает); особая точка - седло и она неустойчива, рис.8.3.

Рис.8.3. Траектория вблизи седла (а) и поведение системы (б)

• р₁, р₂ комплексные числа с положительной действительной частью; особая точка - неустойчивый фокус; траектория вблизи особой точки и поведение системы показаны на рис.8.4.

q₁

q₂ t

а б

Рис.8.4. Траектория вблизи неустойчивого фокуса (а) и поведение системы (б)

• р₁, р₂ комплексные числа с отрицательной действительной частью; особая точка - устойчивый фокус показана на рис.8.5.

а б

Рис.8.5. Траектория вблизи устойчивого фокуса (а) и поведение системы (б)

• р₁,р₂ числа чисто мнимые, тогда решение выражается тригонометрическими функциями показанными на рис.8.6., особая точка – центр, который обладает устойчивостью, так как q_1,2 со временем не растут, Поведение системы вблизи центра - типичный пример маргинальной (безразличной) устойчивости.

Рис. 8.6. Траектория вблизи центра( а) и поведение системы при маргинальной устойчивости (б)

Шести видам фазовых траекторий вблизи особых точек соответствуют шесть типов поведения системы вблизи стационарного состояния. Вспомним, что система с одной переменной имела всего два возможных типа поведения.

Пример:

Проанализируем на устойчивость металлургическую систему, уже рассмотренную нами как пример неравновесных переходов: восстановление вюстита оксидом углерода СО в присутствии твердого углерода. Только теперь выберем такие условия, при которых восстановительная реакция сильно смещена вправо

FeO+CO→ Fe+CO₂ ,

а реакция газификации протекает обратимо

Это возможно, например, в том случае, если концентрация ( или активная поверхность) твердого углерода достаточно велика, кроме того система открыта, т.е. газы СО и СО₂ могут свободно выходить из реакционной зоны, причем тем быстрее, чем больше их концентрация

Будем следить за изменением концентраций обоих газов, концентрацию СО обозначим x, СО₂ - y. Тогда кинетические уравнения (модель системы) можно записать в виде

, (8.8)

где (S_FeO - эффективная реакционная поверхность вюстита, k₁ – константа скорости прямой реакции газификации); ( S_c - эффективная реакционная поверхность твердого углерода, k₂ – константа скорости обратной реакции газификации).

Для анализа данной системы определим стационарные состояния, решив стационарные уравнения

. (8.9)

Обнаружим, что стационарное состояние единственное:

Исследуем поведение системы вблизи стационарного состояния, для чего придадим концентрациям малые возмущения- δх и δy, подставим их в кинетическое уравнения и отбросим все члены, кроме линейных. Получим систему линейных дифференциальных уравнений. Найдем коэффициенты :

;

;

(8.10)

Далее воспользуемся характеристическим уравнением, подставим в него полученные значения

(8.11)

где .

Находим решение характеристического уравнения:

(8.12)

Полученное решение свидетельствует, что его корни р₁ и р₂ всегда действительны ( выражение в квадратных скобках всегда положительно) и меньше нуля – р₁ < 0, р₂ < 0 ( так как второй член решения всегда меньше первого). Это значит, что стационарная точка - устойчивый узел. Концентрация СО и СО₂ со времен стремятся к нулю, реакция затухает. Становится ясно, что реальная восстановительная система, соответствующая данной модели, самопроизвольно функционировать не может. Для стационарного протекания восстановительной реакции схему опыта надо изменить (например, создать постоянный приток монооксида углерода).

Анализ устойчивости особых точек, проведенный для систем с двумя переменными, можно распространить на системы с произвольным количеством переменных (см. Приложение).