7.3. Автокатализ, динамика популяций

Пример 3. Рассмотрим прямую автокаталитическую реакцию - самовоспроизводство вещества Х:

Кинетическое уравнение в .этом случае также линейное:

. (7.12)

Его решение

. (7.13)

Об этом же свидетельствует рассмотрение данной системы с помощью потенциала

(7.14)

В дальнейшем будем рассматривать нелинейные системы.

Пример 4. Рассмотрим ту же реакцию, что в примере 3, только в замкнутом объеме. Это означает, что постепенно компонент А переходит в компонент Х, а их суммарное количество остается неизменным, т.е С_А+С_х=С₁=const. Концентрация компонента А тогда будет равна С_А= С₁-С_х, и кинетическое уравнение запишется в виде

(7.15)

Уравнение, как мы видим, уже не линейное, так как искомая концентрация входит в него во второй степени. Стационарных состояний также два, первое при Сх= С₁, второе при Сх= 0. Решение уравнения можно получить в явном виде, если перейти к новым переменным – х = С_х/С₁  1 и = tk₁c₁, тогда

(7.16)

Исследование данного случая с помощью потенциала состоит в следующем. Потенциал имеет вид

, (7.17)

где  и  всегда положительны, т.к. представляет собой комбинацию положительных по определению величин k₁, k_-1, С_А, С₁.

Графическое изображение потенциала на рис.7.3 показывает, что при любых изменениях параметров  и  форма потенциальной кривой остается неизменной, т.е всегда на ней есть один минимум , отвечающий устойчивому стационарному состоянию, и один максимум, соответствующий неустойчивому стационарному состоянию. Неустойчивым является стационарное состояние при нулевой концентрации компонента Х, так как здесь находится вершина холма.

Рис.7.3. Общий вид потенциала для нелинейных автокаталитических реакций

Пример 5. Рассмотрим автокатализ с обратной реакцией (нелинейная система):

A + X ↔ 2X

Кинетическое уравнение:

(7.18)

аналогично предыдущему случаю. Стационарных состояний также два - при и при С_х = 0. Решение можно получить в том же виде, что и в предыдущем примере, если положить х = С_х/С₂ и  = t к₁С_А.

Анализ этой системы с помощью потенциала полностью аналогичен примеру 4.

Пример 6. Рассмотрим динамику популяций - т.е закономерность изменения числа особей животных (или растений) данного вида при заданных внешних природных условиях.

Пусть число особей - N, и данная популяция возрастает по закону N^.= RN, т.е чем больше особей, тем быстрее они размножаются. Показатель роста R зависит от числа особей. Так, например, при постоянных запасах пищи в окружающей среде R будет уменьшаться с ростом N - пищи на каждого становится меньше. Закон, по которому меняется R, обычно описывается уравнением типа

, (7.19)

где R₀ и N₀- константы.

Тогда модель развития популяции запишется следующим образом:

(7.20)

Это уравнение называется законом Ферхлюста-Перла. Уравнение полностью совпадает с кинетическим уравнением реакций из примеров 4 и 5, если х = N/N₀ и  = Rt. Соответственно все выводы полученные нами для химических реакций, рассмотренных в указанных примерах, можно перенести на динамику популяций в модели Ферхлюста-Перла. Отсюда можно сделать важный вывод: одна и та же динамическая модель может описывать поведение различных по своей природе систем.