7. Нелинейная термодинамика – динамические модели процессов с одной переменной

Для описания нелинейных процессов в неравновесных системах существует несколько подходов. Некоторые из них, позволяющие анализировать наиболее простые часто встречающиеся случаи, мы предлагаем для рассмотрения.

7.1. Динамические уравнения

Детерминистическая модель описывает необратимые процессы в том случае, если, известно начальное состояние системы F₀ (q_i, t₀) ( где q_i - переменные), или, как его еще называют, вектор состояния. Тогда однозначно рассчитывается состояние F_t (q_i, t) в любой более поздний момент времени t  t₀. При этом зависимость вектора состояния от времени определяется системой обыкновенных дифференциальных уравнений

= F(q_i, ), (7.1)

где  - обозначает множество параметров.

Вероятностные или стохастические модели используют для описания нелинейных систем, когда нельзя исключить влияние случайных причин- флуктуаций - вызывающих спонтанные отклонения от данного состояния. Из-за присутствия флуктуаций нарушается однозначность описания будущих состояний систем. Мы будем рассматривать только детерминистические модели, т.е. модели, описывающие процессы с известным начальным состоянием.

Подробное же освещение стохастических моделей неравновесных процессов см. в книге Г. Хакена.

Динамические уравнения процессов с одной переменной

Рассмотрим несколько простых неравновесных процессов из механики и химии, на примере которых можно сделать некоторые общие выводы относительно динамики их развития.

Рассмотрим систему, в которой частица массой m ускоряется под действием силы F₀

, (7.2)

где q - координата.

Силу F₀ можно представить с помощью силы трения, которая пропорциональна скорости, и включает в себя движущую силу:

(7.3)

Тогда уравнение движения приводится к виду

, (7.4)

причем сила F(q) во многих случаях оказывается зависимой от координаты. Последнее уравнение - это динамическая модель движения частицы с учетом трения.

Исследуем поведение модели во времени. Если m мало, а постоянная трения  велика, то можно пренебречь первым членом в уравнении движения по сравнению со вторым. Это случай так называемого передемпфированного агармонического движения.

Если теперь ввести новый масштаб времени  = t, то уравнение движения перепишется в следующем виде

( ), (7.5)

Уравнения такого вида встречаются во многих дисциплинах. Например, в химии при описании реакции А + В  С, где скорость изменения концентрации вещества С будет

; , (7.6)

где С_А, С_В- концентрации А и В; k - константа скорости реакции.

В механике - для гармонического осциллятора:

, . (7.7)

Поэтому принимаем это уравнение в качестве основной модели для изучения поведения систем с одной переменной.

Дальнейшее исследование поведение модели во времени может быть осуществлено тремя способами: решение самих уравнений модели, исследование поведения потенциальной функции модели и анализа поведения модели вблизи стационарного состояний. Решение уравнений является предпочтительным, но не всегда это возможно. Тогда для исследования поведения модели используют ее потенциальную функцию (потенциал). Системы, которые позволяют построить потенциал, называются градиентными. Если же система не градиентная, то используют третий путь исследования.