1.1 Определение теплового состояния дефлекторной лопатки

методом конечных разностей

1.1.1 Исходные данные для расчета дефлекторной лопатки.

Параметры рабочего цикла:

; ; ;

Исходные данные для расчета дефлекторной лопатки:

• участок профиля – выходная кромка;

• характерная скорость газа w_г = 200 м/с;

• характерная скорость охладителя w_охл = 150 м/с;

• характерный геометрический размер для охладителя l _{0, охл, III} = 2,0 мм;

• характерный геометрический размер для газа l _{0, г, III} = 80 мм;

• толщина стенки лопатки =2,0 мм;

• материал лопатки ЖС6;

• глубина охлаждения воздуха в теплообменнике

2. Принятые обозначения и допущения

Весь профиль дефлекторной лопатки условно разделяется на три участка: входная кромка I, средняя часть II (включающая как спинку, так и корытце) и выходная кромка III.

Для упрощения расчета сделаем следующие допущения:

1. перетоком тепла вдоль профиля и по высоте лопатки пренебрегаем;

2. температуру газа и температуру охлаждающего воздуха считаем постоянными и одинаковыми для всего профиля поперечного сечения;

3. коэффициенты теплоотдачи от газа к лопатке и от лопатки к охлаждающему воздуху считаем постоянными по времени, одинаковыми в пределах каждого участка и равными их соответствующим средним значениям на участке;

4. участок I входной кромки условно рассчитываем как полый цилиндр с наружным радиусом R и толщиной стенки d;

5. участки II и III со стороны спинки и корытца моделируем неограниченными пластинами постоянной толщины.

Следствием приведенных допущений является одномерность температурного поля на каждом участке, то есть изменение температуры происходит только в направлении нормали к обтекаемой поверхности.

Рисунок 1 – Участки профиля дефлекторной лопатки

1.1.3 Краевая задача нестационарной теплопроводности, описывающая

тепловое состояние лопатки.

С учетом принятых допущений развитие во времени температурного поля на участках профиля лопатки описывается следующей краевой задачей нестационарной теплопроводности с граничными условиями третьего рода на ограничивающих поверхностях:

(1.1)

; (1.2)

(1.3)

, (1.4)

где x и - соответственно пространственная и временная переменные, - искомая температура, T₀ – начальная температура лопатки, T_w,охл и T_w,г – температуры поверхности лопатки со стороны охлаждающего воздуха и высокотемпературного газа соответственно, - коэффициент геометрической формы. При задача (1.1) – (1.4) описывает тепловое состояние средней части профиля лопатки и выходной кромки, и в этом случае необходимо положить ; при приведённая краевая задача описывает тепловое состояние входной кромки лопатки, и тогда где внутренний радиус входной кромки.

1.1.4 Конечно-разностная схема

При численном решении краевой задачи теплопроводности температуру определяют в дискретных точках пространства и в дискретные моменты времени. Для задачи (1.1) – (1.4) неявная абсолютно устойчивая в счете безытерационная конечно-разностная схема имеет вид

(1.5)

(1.6)

(1.7)

(1.8)

Здесь предполагается, что геометрическая область, в которой ищется решение задачи (1.1) – (1.4), разбита на m слоев таким образом, что вектор нормали к границе каждого слоя коллинеарен орт-вектору оси Ox (см. рисунок 2). Через и обозначены координаты соответственно левой и правой границы i–го слоя. С целью распространения конечно-разностного уравнения (1.5) на крайние (2-й и m+1-й) слои области введены также два фиктивных (1-й и m+2-й) граничных слоя. Толщина каждого из фиктивных слоёв принимается равной толщине соответствующего прилегающего к нему слоя области, то есть Верхние индексы (n) и (n+1) обозначают два последовательных временных слоя и разделённых промежутком времени

Температуры (i = 1, 2,…, m+2) определяются в серединах соответствующих пространственных слоев.

Плотность, теплоемкость и коэффициент теплопроводности рассчитываются в (1.5) – (1.8) следующим образом:

Отметим, что температуры наружной и внутренней поверхностей лопатки явно не присутствуют в уравнениях (1.5) – (1.8). При необходимости, на n-м временном шаге они могут быть определены по формулам

.

Рисунок 2 – Схема разбиения