65.Принцип суперпозиции волн. Групповая скорость и её связь с фазовой

Принцип суперпозиции (наложения) волн: при распространении в среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы каждой волны.

Интерференция волн – наложение двух (или нескольких) когерентных волн, в результате чего происходит усиление или ослабление результирующей волны в зависимости от соотношения между фазами этих волн. Когерентными называются волны одного направления одинаковой частоты и постоянной разности фаз. Рассмотрим наложение двух когерентных волн, возбуждаемых точечными источниками (для простоты начальные фазы φ₀=0): ξ₁(r,t)=A₁·cos[ω(t-r₁/υ)]  ξ₂(r,t)=A₂·cos[ω(t-r₂/υ)]. Разность фаз этих колебаний равна:φ₁-φ₂=(ω/υ)·(r₁-r₂)=Δr·ω/υ=Δr·2π/υT=Δr·2π/λ, (115)

где Δr=r₁-r₂ - разность хода волн, λ=υT - длина волны. 1) если колебания происходят в одинаковой фазе, т.е. φ₁-φ₂=±2kπ (k=0,1,2...), (116) то наблюдается максимум интерференции. Приравниваем (115) и (116): Δr·2π/λ=±2kπ. Получаем условие максимума при интерференции: Δr=±kλ=±2k·λ/2 (k=0,1,2...) (117) В этом случае A=A₁+A₂. 2) если колебания происходят в противофазе, т.е. φ₁-φ₂=±(2k+1)π (k=0,1,2...), (118) то наблюдается минимум интерференции. Приравниваем (115) и (117): Δr·2π/λ=±(2k+1)π Получаем условие минимума при интерференции: Δr=±(2k+1)·λ/2 (k=0,1,2...) (118)

В этом случае A=| A₁-A₂ | Групповая скорость — это величина, характеризующая скорость распространения «группы волн» - то есть более или менее хорошо локализованной квазимонохроматической волны (волны с достаточно узким спектром). Для одномерных волн групповая скорость вычисляется из закона дисперсии: где   — угловая частота,   — волновое число. Групповая скорость волн в пространстве (например, трехмерном или двумерном) определяется градиентом частоты по волновому вектору  : или (для трехмерного пространства): . Фа́зовая ско́рость — скорость перемещения точки, обладающей постоянной фазой колебательного движения, в пространстве вдоль заданного направления. Основная формула, определяющая фазовую скорость (монохроматической) волны в одномерном пространстве или фазовую скорость вдоль волнового вектора для волны в пространстве большей размерности: которая является прямым следствием того факта, что фаза плоской волны в однородной среде есть  для одномерного случая или  для размерности, большей единицы. Дисперсия (от лат. dispersio — рассеяние) в зависимости от контекста может означать: Дисперсия волн — в физике зависимость фазовой скорости волны от её частоты, различают: Дисперсия света, Дисперсия звука Диспе́рсия све́та (разложение света) — это явление, обусловленное зависимостью абсолютного показателя преломления вещества от частоты (или длины волны) света (частотная дисперсия), или, то же самое, зависимость фазовой скорости света в веществе от длины волны (или частоты)

66. Волновое уравнение для электромагнитного поля. Свойства

Волновое уравнение для электромагнитного поля. Покажем, что существование электромагнитных волн вытекает из уравнений Максвелла. В случае однородной нейтральной непроводящей  среды с постоянными проницаемостями 

Поэтому уравнения (71.1) — (71.4) можно написать следующим образом: (104.1) Возьмем ротор от обеих частей уравнения (104.1): (104.5) Символ  означает дифференцирование по координатам. Изменение последовательности дифференцирования по координатам и времени приводит к равенству Произведя в (104.5) такую замену и подставив в получившееся уравнение значение (104.3) для ротора Н, получим (104.6) Согласно (11.40) . В силу (104.4) первый член этого выражения равен нулю. Поэтому левая часть формулы (104.6) представляет собой . Таким образом, опустив слева и справа знак минус, приходим к уравнению В соответствии с (39.15) . Поэтому уравнению можно придать вид (104.7) Раскрыв оператор Лапласа, получим Взяв ротор от обеих частей уравнения (104.3) и произведя аналогичные преобразования, придем к уравнению Уравнения (104.8) и (104.9) неразрывно связаны друг с другом, так как они получены из уравнений (104.1) и (104.3), каждое из которых содержит и Е, и Н.Уравнения (104.8) и (104.9) прёдставляют собой типичные волновые уравнения (см. (96.2)). Всякая функция, удовлетворяющая такому уравнению, описывает некоторую волну, причем корень квадратный из величины, обратной коэффициенту при производной по времени, дает фазовую скорость этой волны. Следовательно, уравнения (104.8) и (104.9) указывают на то, что электромагнитные поля могут существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость которых равна (104.10) В вакууме (т. е. при ) скорость электромагнитных волн совпадает со скоростью света в пустоте с.

Свойства электромагнитных волн. Электромагнитные волны представляют собой распространение электромагнитных полей в пространстве и времени.Рассмотрим основные свойства электромагнитных волн. 1. Электромагнитные волны излучаются колеблющимися зарядами. Наличие ускорения - главное условие излучения электромагнитных волн. 2. Такие волны могут распространяться не только в газах, жидкостях и твердых средах, но и в вакууме. 3. Электромагнитная волна является поперечной.. Периодические изменения электрического поля (вектора напряженности Е) порождают изменяющееся магнитное поле (вектор индукцииВ), которое в свою очередь порождает изменяющееся электрическое поле. Колебания векторов Е и В происходят во взаимно перпендикулярных плоскостях и перпендикулярно линии распространения волны (вектору скорости) и в любой точке совпадают по фазе. Силовые лини электрического и магнитного полей в электромагнитной волне являются замкнутыми. Такие поля называют вихревыми.

4. Скорость электромагнитных волн в вакууме с=300000 км/с. Распространение электромагнитной волны в диэлектрике представляет собой непрерывное поглощение и переизлучение электромагнитной энергии электронами и ионами вещества, совершающими вынужденные колебания в переменном электрическом поле волны. При этом в диэлектрике происходит уменьшение скорости волны. 5. При переходе из одной среды в другую частота волны не изменяется. 6. Электромагнитные волны могут поглощаться веществом. Это обусловлено резонансным поглощением энергии заряженными частицами вещества. Если собственная частота колебаний частиц диэлектрика сильно отличается от частоты электромагнитной волны, поглощение происходит слабо, и среда становится прозрачной для электромагнитной волны. 7. Попадая на границу раздела двух сред, часть волны отражается, а часть проходит в другую среду,преломляясь. Если второй средой является металл, то прошедшая во вторую среду волна быстро затухает, а большая часть энергии (особенно у низкочастотных колебаний) отражается в первую среду (металлы являются непрозрачными для электромагнитных волн)

67. Энергия электромагнитных волн. Вектор Пойнтинга.

Энергия электромагнитных волн. Как показывает опыт, электромагнитные волны могут производить различные действия: нагревание тел при поглощении света, вырывание электронов с поверхности металла под действием света (фотоэффект). Это свидетельствует о том, что электромагнитные волны переносят энергию. Эта энергия заключена в распространяющихся в пространстве электрическом и магнитном полях. В курсе электричества и магнетизма было показано, что объемная плотность энергии электрического поля равна (1.1) а магнитного поля – (1.2) где   и   – электрическая и магнитная постоянные. Таким образом, полная плотность энергии электромагнитной волны равна (1.3) Так как модули вектора напряженности электрического и индукции магнитного поля в электромагнитной волне связаны соотношением  , то полную энергию можно выразить только через напряженность электрического поля или индукцию магнитного поля: (1.4) Из (1.4) видно, что объемная плотность энергии складывается из двух равных по величине вкладов, соответствующих плотностям энергии электрического и магнитного полей. Это обусловлено тем, что в электромагнитной волне происходят взаимные превращения электрического и магнитного полей. Эти процессы идут одновременно, и электрическое и магнитное поля выступают как равноправные «партнеры». Плотность энергии электромагнитного поля можно представить в виде: (1.5). Формула (1.5) характеризует плотность энергии в любой момент времени в любой точке пространства. Если выделить площадку с площадью s, ориентированную перпендикулярно направлению распространения волны, то за малое время Δt через площадку пройдет энергия  , равная , где   – скорость электромагнитной волны в вакууме. Плотностью потока энергии называют электромагнитную энергию, переносимую волной за единицу времени через поверхность единичной площади, перпендикулярной к направлению распространения волны: (1.6) Подставляя в последнее соотношение выражения для   и  , получим .

Вектор Пойнтинга (также вектор Умова — Пойнтинга) — вектор плотности потока энергии электромагнитного поля, одна из компонент тензора энергии-импульса электромагнитного поля. Вектор Пойнтинга S можно определить через векторное произведение двух векторов:  (в системе СГС),  (в системе СИ), где E и H — векторы напряжённости электрического и магнитного полей соответственно. В случае квазимонохроматических электромагнитных полей, справедливы следующие формулы для усреднённой по периоду комплексной плотности потока энергии:  (в системе СГС),  (в системе СИ), где E и H — векторы комплексной амплитуды электрического и магнитного полей соответственно. В этом случае чёткий физический смысл имеет только действительная часть комплексного вектора S — это вектор усреднённой за период плотности потока энергии. Физический смысл мнимой части зависит от конкретной задачи. Модуль вектора Пойнтинга равен количеству энергии, переносимой через единичную площадь, нормальную к S, в единицу времени. Своим направлением вектор определяет направление переноса энергии. Поскольку тангенциальные к границе раздела двух сред компоненты E и H непрерывны (см. граничные условия), то нормальная составляющая вектора S непрерывна на границе двух сред.