62.Волновые процессы. Продольные и поперечные волны. Уравнение волны.

Волна́ — изменение состояния среды или физического поля (возмущение), распространяющееся либо колеблющееся в пространстве и времени или в фазовом пространстве.

Продольные волны ─ распространяющееся с конечной скоростью в пространстве переменное взаимодействие материи, которое обычно характеризуется двумя функциями ─ векторной, направленной вдоль потока энергии волны, и скалярной функцией. В упругих волнах (звуковых волнах) векторная функция описывает колебания скорости движения элементов среды распространения волны. В зависимости от вида продольных волн и среды их распространения, скалярная функция описывает разного рода изменения в среде или в поле, например, плотность вещества. Активность продольной волны Продольными волнами называются волны, в которых колебания совершаются вдоль направления распространения. Примером таких волн могут быть акустические (упругие) волны, в редких случаях существуют примеры продольных электромагнитных волн (в сильно диспергирующих средах). ПОПЕРЕЧНАЯ ВОЛНА - волна, у к-рой характеризующая её векторная величина лежит в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны (для гармонич. волн - волновому вектору  ). К П. в. относят, напр., волны в струнах или упругих мембранах, когда смещения частиц в них происходят строго перпендикулярно направлению распространения волн, а также плоские однородные эл--магн. волны в изотропномдиэлектрике или магнетике; в этом случае поперечные колебания совершают векторы электрич. и магн. полей. Вид уравнения В многомерном случае однородное волновое уравнение записывается в виде где   — оператор Лапласа,   — неизвестная функция,   — время,   — пространственная переменная,   — фазовая скорость.

Вывод для трёхмерного случая. В одномерном случае уравнение называется также уравнением колебания струны или уравнением продольных колебаний стержня и записывается в виде Оператор Д’Аламбера Разность   называется оператором Д’Аламбера и обозначается как  (разные источники используют разный знак). Таким образом, с использованием оператора Д'Аламбера (даламбертиана) однородное волновое уравнение записывается как:

Неоднородное уравнение Допустимо также рассматривать неоднородное волновое уравнение где   — некая заданная функция внешнего воздействия (внешней силы).

Стационарным вариантом волнового уравнения является уравнение Лапласа (уравнение Пуассона в неоднородном случае). Задача нахождения нормальных колебаний системы, описываемой волновым уравнением, приводит к задаче на собственные значения для уравнения Лапласа, то есть к нахождению решений уравнения Гельмгольца, получающегося подстановкой  или  .

63.Фазовая скорость, длина волны, волновое число.

Фа́зовая ско́рость — скорость перемещения точки, обладающей постоянной фазой колебательного движения, в пространстве вдоль заданного направления. Основная формула, определяющая фазовую скорость (монохроматической) волны в одномерном пространстве или фазовую скорость вдоль волнового вектора для волны в пространстве большей размерности: которая является прямым следствием того факта, что фаза плоской волны в однородной среде есть  для одномерного случая

или   для размерности, большей единицы. Длина́ волны́ — расстояние между двумя ближайшими друг к другу точками, колеблющимися в одинаковых фазах, обычно длина волны обозначается греческой буквой  .^[1] По аналогии с волнами, возникающими в воде от брошенного камня, длиной волны является расстояние между двумя соседними гребнями волны. Одна из основных характеристикколебаний. Измеряется в единицах расстояния (метры, сантиметры и т. п.). Величина  , обратная длине волны, называется волновым числом и имеет смысл пространственной частоты. Получить соотношение, связывающее длину волны с фазовой скоростью ( ) и частотой ( ) можно из определения. Длина волны соответствует пространственному периоду волны, то есть расстоянию, которое точка с постоянной фазой проходит за время, равное периоду колебаний  , поэтому

Волново́е число́ (также^[1] называемое пространственной частотой) — это отношение 2π радиан к длине волны:  пространственный аналог круговой частоты^[2].

В одномерном случае волновому числу обычно приписывают знак минус, если волна распространяется в отрицательном направлении (против оси). В многомерном - это обычно синоним абсолютной величины волнового вектора или его компонент (несколько волновых чисел по количеству осей координат), также может быть проекцией волнового вектора на некоторое определенное выбранное направление. Обычное обозначение:  . Единица измерения — рад·м⁻¹, физическая размерность м⁻¹. (В системе СГС: см⁻¹). В спектроскопии волновым числом часто называют просто величину, обратную длине волны (1/λ), измеряемую обычно в обратных сантиметрах (см⁻¹). Такое определение отличается от обычного отсутствием множителя 2π. Используется в физике, математике^[4] (преобразование Фурье) и таких приложениях, как обработка изображений. Определение: волновым числом k называется быстрота роста фазы волны φ по пространственной координате:

Поскольку в большинстве случаев волновое число имеет смысл только применительно к монохроматической волне (строго монохроматической или по крайней мере почти монохроматической), производную в определении можно (для этих самых распространенных случаев) заменить на выражение с конечными разностями: