40. Энергия взаимодействия системы электрических зарядов.

1. При перемещении электрических зарядов силы кулонова взаимодействия между ними совершают определенную работу А. Очевидно, что мы должны приписать всякой системе зарядов определенную энергию взаимодействия, за счет убыли которой и совершается работа А:

Энергию взаимодействия зарядов W мы часто будем называть просто электрической энергией.

2. Исходя из (15.1), подсчитаем прежде всего энергию двух точечных зарядов е\ и е2, находящихся на расстоянии R12 друг от друга. Всякое изменение взаимного расстояния зарядов сопровождается работой электрических сил. Предположим, например, что заряд е2 остается неподвижным, тогда как заряд е\ перемещается в поле заряда е2 из точки Pi в точку Р[. Если ф1 — = е2/R12 — потенциал поля заряда е2 в точке Р\, а ф + dф\ — в точке Р[, то работа А электрических сил при этом перемещении равна А — —е1 dф1, откуда А = —dW = —е1 dф1, и, следовательно.

Ввиду того, что наблюдению доступны лишь изменения энергии, а не ее абсолютная величина, мы для простоты опустили здесь аддитивную постоянную интегрирования, от взаимного расположения зарядов не зависящую (ср. сказанное о собственной энергии зарядов в конце следующего параграфа). В связи с этим единственно учитываемая нами переменная часть энергии W может принимать и отрицательные значения х).

К тому же выражению для W мы пришли бы, конечно, рассматривая перемещение заряда в2 в поле неподвижного заряда е\ или, наконец, одновременное перемещение обоих зарядов.

Обозначая через ф2 потенциал заряда е\ в точке, занимаемой зарядом е2 (ф2 = ei/R12), можно вместо (15.2) написать

Удобнее же всего взаимную электрическую энергию зарядов г\ и ег записать в симметричной форме:

41. Энергия заряженного проводника и конденсатора.

Если уединенный проводник имеет заряд q, то вокруг него существует электрическое поле, потенциал которого на поверхности проводника равен   , а емкость - С. Увеличим заряд на величину dq. При переносе заряда dq из бесконечности должна быть совершена работа равная   . Но потенциал электростатического поля данного проводника в бесконечности равен нулю   . Тогда

При переносе заряда dq с проводника в бесконечность такую же работу совершают силы электростатического поля. Следовательно, при увеличении заряда проводника на величину dq возрастает потенциальная энергия поля, т.е.

Проинтегрировав данное выражение, найдем потенциальную энергию электростатического поля заряженного проводника при увеличении его заряда от нуля до q:

Применяя соотношение   , можно получить следующие выражения для потенциальной энергии W:

Для заряженного конденсатора разность потенциалов (напряжение) равна   поэтому соотношение для полной энергии его электростатического поля имеют вид

42. Энергия и плотность энергии электрического поля.

Энергия электрического поля. Энергию заряженного конденсатора можно выразить через величины, характеризующие электрическое поле в зазоре между обкладками. Сделаем это на примере плоского конденсатора. Подстановка выражения для емкости в формулу для энергии конденсатора дает

Частное U / d равно напряженности поля в зазоре; произведение S·d представляет собой объем V, занимаемый полем. Следовательно, 

Если поле однородно (что имеет место в плоском конденсаторе при расстоянии dмного меньшем, чем линейные размеры обкладок), то заключенная в нем энергия распределяется в пространстве с постоянной плотностью w. Тогда объемная плотность энергии электрического поля равна 

C учетом соотношения  можно записать 

В изотропном диэлектрике направления векторов D и E совпадают и  Подставим выражение  , получим 

Первое слагаемое в этом выражении совпадает с плотностью энергии поля в вакууме. Второе слагаемое представляет собой энергию, затрачиваемую на поляризацию диэлектрика. Покажем это на примере неполярного диэлектрика. Поляризация неполярного диэлектрика заключается в том, что заряды, входящие в состав молекул, смещаются из своих положений под действием электрического поляЕ. В расчете на единицу объема диэлектрика работа, затрачиваемая на смещение зарядов q_i на величину dr_i, составляет 

Выражение в скобках есть дипольный момент единицы объема или поляризованность диэлектрика Р. Следовательно,  . Вектор P связан с вектором E соотношением  . Подставив это выражение в формулу для работы, получим

Проведя интегрирование, определим работу, затрачиваемую на поляризацию единицы объема диэлектрика

.

Зная плотность энергии поля в каждой точке, можно найти энергию поля, заключенного в любом объеме V. Для этого нужно вычислить интеграл: