Глава 2. Пример анализа временного ряда
Покажем последовательность анализа временных рядов на следующем примере. В таблице 8 приведены в относительных единицах данные продаж продовольственных товаров в магазине ( ).
Таблица 1
Построим график этой функции (рис.1).
Рисунок 1
Анализ графика показывает:
1). Временной ряд имеет тренд, весьма близкий к линейному;
2). Существует определенная цикличность (повторяемость) процессов продаж с периодом цикла 6 месяцев;
3) Временный ряд нестационарный, для приведения его к стационарному виду из него необходимо удалить тренд.
После перерисовки графика с периодом 6 месяцев он будет иметь следующий вид
Рисунок 2
Так как колебания объемов продаж достаточно велики (это видно по графику) необходимо провести его сглаживание для более точного определения тренда.
Существует несколько подходов к сглаживанию временного временных рядов:
- Простое сглаживание;
- Метод взвешенной скользящей средней;
- Метод экспоненциального сглаживания Брауна.
Простое сглаживание основано на преобразовании исходного ряда в другой, значения которого являются усредненными по трем рядом стоящим точкам временного ряда:
(17)
Для первого члена ряда:
Для последнего члена ряда:
Метод
взвешенной скользящей средней отличается
от простого сглаживания тем, что включает
параметр
, который позволяет вести сглаживание
по 5 или 7 точкам
для полиномов 2-го и 3 –го порядков значение параметра w t определяется из следующей таблицы
Метод экспоненциального сглаживания Брауна использует предшествующие значений ряда, взятые с определенным весом. Причем вес уменьшается по мере удаления его от текущего времени
(18)
Параметр а рекомендуется выбирать в пределах от 0,35 до 1.
S o обычно выбирается равным Y 1 или среднему из первых трех значений ряда.
Проведем
простое сглаживание ряда. Результаты
сглаживания ряда приведены в таблице
1 (Столбец
).
Полученные результаты представлены
графически на рис.3.
Рис 3
Повторное применение процедуры сглаживания к временному ряду позволяет получить более гладкую кривую.
Рис. 4
Результаты
расчетов повторного сглаживания также
представлены в таблице 1 (Столбец
).Найдем
оценки параметров линейной модели
тренда. Результаты расчетов следующие:
Уточненный график с линией тренда и моделью тренда представлен на рис. 5
Следующий этап заключается в удалении тренда из исходного временного ряда. Для удаления тренда вычтем из каждого элемента первоначального ряда значения, рассчитанные по модели тренда. Полученные значения представим графически на рис.6.
Полученные
остатки, как видно из рис.13, группируются
около нуля, а это значит, что ряд близок
к стационарному.
Для построения гистограммы распределения остатков рассчитывают интервалы группирования остатков ряда. Количество интервалов определяют из условия среднего попадания в интервал 3-4 наблюдения. Для нашего случая возьмем 8 интервалов. Раз-мах ряда (крайние значения) от –40 до +40. Ширина интервала определяется как 80/8=10. Границы интервалов рассчитываются от минимального значения размаха полученного ряда
Теперь определим накопленные частоты попадания остатков ряда в каждый интервал и нарисуем гистограмму
Анализ гистограммы показывает, что остатки группируются около 0. Однако в области от 30 до 40 есть некоторый локальный выброс, который свидетельствует о том, что не учтены и не удалены из исходного временного ряда некоторые сезонные или циклически компоненты. Более точно о характере распределения и его принадлежности к нормальному распределению можно сделать выводы после проверки статистической гипотезы о характере распределения остатков. При ручной обработке рядов обычно ограничиваются визуальным анализом полученных рядов. При обработке на ЭВМ существует возможность более полного анализа.