П. 4 Процесс скользящего среднего

Еще одной простой моделью порождения временного ряда является процесс скользящего среднего порядка q (MA(q)). Согласно этой модели,

, (10)

где - процесс белого шума

При этом для обеспечения стационарности необходимо и достаточно, чтобы параметры по обсолютной величине были меньше еденицы.

Смешанный процесс авторегрессии – скользящего среднего (процесс авторегрессии с остатками в виде скользящего среднего)

Процесс с нулевым математическим ожиданием, принадлежащий такому классу процессов, характеризуется порядками p и q его AR и МA составляющих и обозначается как процесс ARMA(p, q) (autoregressive moving average, mixed autoregressive moving average). Более точно, процесс с нулевым математическим ожиданием принадлежит классу ARMA(p, q), если

, (11)

где - процесс белого шума и . В операторной форме последнее соотношение имеет вид:

где и имеют тот же вид, что и в определенных ранее моделях AR(p) и MA(q). Если процесс имеет постоянное математическое ожидание , то он является процессом типа ARMA(p, q), если

(12)

Отметим следующие свойства процесса ARMA(p, q) с 

Процесс стационарен, если все корни уравнения a(z) = 0 лежат вне единичного

круга z ≤ 1.

Если процесс стационарен, то существует эквивалентный ему процесс

,

Если все корни уравнения b(z) = 0 лежат вне единичного круга z ≤ 1 (условие обратимости), то существует эквивалентное представление процесса в виде процесса авторегрессии бесконечного порядка AR(∞)

Отсюда вытекает, что стационарный процесс ARMA(p, q) всегда можно аппроксимировать процессом скользящего среднего достаточно высокого порядка, а при выполнении условия обратимости его можно также аппроксимировать процессом авторегрессии достаточно высокого порядка.

В экономике многие временные ряды являются агрегированными. Из указанного выше факта вытекает, что если каждая из компонент отвечает простой модели AR, то при независимости этих компонент их сумма будет ARMA процессом.

П.5 Нестационарные временные ряды

В экономической практике принято рассматривать два основных типа нестационарных временных рядов:

Случайное блуждание ( со сдвигом)

Такие ряды так же принято называть временными рядами со стохастическим трендом.

Вторым основным типом является ряд вида:

Такие ряды называются также временными рядами с детерминистическим трендом.

Рис. Нестационарный временной ряд с детерминистическим трендом.

200

150

100

50

Рассмотрим временной ряд со стохастическим трендом.

Данное уравнение является частным случаем более общей модели

В зависимости от значения можно выделить два случая:

|а| < 1 — процесс является стационарным;

|а| 1 — процесс является нестационарным.

При |а| >1 процесс становится «взрывным», т. е. шок, произошедший в системе в момент времени t, будет иметь более сильное влияние на нее в момент времени t+1, еще более сильное – в момент t+2 и т.д.

На рисунке изображены процессы нестационарных временных рядов с коэффициентом >1. Рисунок A

Показывает первые 250, а

Рисунок Б. – первые 450 неблюдений одного и того же процесса. . Видно, как с увеличением числа наблюдений усиливается

взрывной» характер процесса.

Рисунок Б.

180

160

140

120

100

80

60

40

20

О 50 100 150 200 250 300 350 400 450

Аналогичные тенденции прослеживаются для процессов с коэффициентом < -1.

Такого рода процессы ( а также процесс с коэффициентом = -1 редко соотвествуют экономическим данным, поэтому, как правило, основной упор делается на рассмотрении процессов, имеющих единичный корень, - т.е. случая, когда =1.[3]