Этапы построения прогноза по временным рядам

экстраполяционное¹ прогнозирование экономических процессов, представленных одномерными временными рядами, сводится к выполнению следующих основных этапов:

1) предварительный анализ данных;

2) построение моделей: формирование набора аппроксимирующих функций (кривых роста) и численное оценивание параметров моделей;

3) проверка адекватности моделей и оценка их точности;

4) выбор лучшей модели;

5) расчет точечного и интервального прогнозов

Предварительный анализ данных

В ходе предварительного анализа определяют соответствие имею­щихся данных требованиям, предъявляемым к ним математическими ме­тодами (достоверности, сопоставимости, полноты, однородности и устойчивости); строится график динамики и рассчитываются основные традиционные динамические характеристики (приросты, темпы роста, темпы прирос­та).

Для получения общего представления о динамике исследуемого пока­зателя целесообразно построить его график. При графическом отобра­жении динамики показателя во времени по оси абсцисс откладываются значения переменной t, а по оси ординат - соответствующие значения показателя Y(t).

К процедурам предварительного анализа относятся:

• выявление аномальных наблюдений;

• проверка наличия тренда;

• сглаживание временных рядов;

• расчет показателей развития динамики экономических процессов.

Так как наличие аномальных наблюдений приводит к искажению результатов моделирования, то необходимо убедиться в отсутствии аномалий данных. Поэтому процедура выявления аномальных наблюдений является обязательной процедурой этапа предварительного анализа данных. Для диагностики аномальных наблюдений разработаны различные критерии, например, метод Ирвина /1/. Согласно этому методу для всех или только для подозреваемых в аномальности наблюдений вычисляется величина :

,

где

Если рассчитанная величина превышает табличный уровень (например, для 10 наблюдений значение критерия Ирвина равно 1,5), то уровень считается аномальным. Аномальные наблюдения необходимо исключить из временного ряда и заменить их расчетными значениями (самый простой способ замены – в качестве нового значения принять среднее из двух соседних значений).

Критические значения параметра /1/:

Количество наблюдений n
	P=0,95	P=0,99
2	2,8	3,7
3	2,2	2,9
10	1,5	2,0
20	1,3	1,8
30	1,2	1,7
50	1,1	1,6
100	1,0	1,5
400	0,9	1.3
1000	0,8	1.2

Следующая процедура этапа предварительного анализа данных – выявление наличия тенденций в развитии исследуемого показателя.

Тенденция проявляется не только в увеличении или уменьшении сред­него значения временного ряда, она присуща и другим его характеристикам: дисперсии, автокорреляции, корреляции с другими показателями и т. д. Наиболее важными из перечисленных тенденций являются тенденции среднего текущего значения и дисперсии. тенденцию среднего визуально можно определить из графика исходных данных.

Наличие тенденции среднего уровня на графике становится более заметным, когда на нем отражены сглаженные значения исходных данных.

Сглаживание временных рядов. Сглаживание временного ряда, т.е. замена фактических уровней расчетными значениями, имеющими меньшую колеблемость, чем исходные данные является простым методом выявления тенденции развития. Соответствующее преобразование называется фильтрованием.

Сглаживание временных рядов проводится по следующим причинам:

В ряде случаев при графическом изображении временного ряда тренд прослеживается недостаточно отчетливо. Поэтому ряд сглаживают, на график наносят сглаженные значения и, как правило, тенденция проявляется более четко.

Некоторые методы анализа и прогнозирования требуют в качестве предварительного условия сглаживание временного ряда.

Сглаживание временных рядов используется при устранении аномальных наблюдений.

Методы сглаживания в настоящее время применяются для непосредственного прогнозирования экономических показателей.

Существующие методы сглаживания делят на две группы:

Методы первого типа (аналитические). Сглаживание с использованием кривой, проведенной относительно фактических значений ряда так, чтобы эта кривая отображала тенденцию, присущую ряду и одновременно освобождала его от мелких незначительных колебаний. Такие кривые называют еще кривыми роста, и они используются главным образом для прогнозирования экономических показателей.

Методы механического сглаживания. При использовании этих методов производится сглаживание каждого отдельного уровня ряда с использованием фактических значений соседних с ним уровней. Для сглаживания временных рядов часто используются методы простой и взвешенной скользящей средней, экспоненциального сглаживания.

Метод простой скользящей средней.

1. Согласно этому методу определяется количество наблюдений, входящих в интервал сглаживания. При этом используют правило: если необходимо сгладить мелкие, беспорядочные колебания, то интервал сглаживания берут по возможности большим и, наоборот, интервал сглаживания уменьшают, когда нужно сохранить более мелкие волны и освободиться от периодически повторяющихся колебаний, возникающих, например, из-за автокорреляций уровней.

2. Вычисляется среднее значение наблюдений, образующих интервал сглаживания, которое одновременно является сглаживающим значением уровня, находящегося в центре интервала сглаживания, при условии, что m - нечетное число, по формуле:

, (*)

где m - количество наблюдений, входящих в интервал сглаживания.

При нечетном m значение параметра значение параметра p вычисляют следующим образом:

- среднее значение наблюдения , которое одновременно является сглаженным значением наблюдения, находящегося в центре интервала сглаживания при нечетном m.

p - количество наблюдений, стоящих по разные стороны от сглаживаемого.

Первым сглаженным будет наблюдение , где t=p+1.

Например, простая скользящая средняя по трем точкам имеет вид:

=

3. Интервал сглаживания сдвигается на один член вправо и по формуле (*) находится сглаженное значение для t+1 наблюдения. Затем снова производят сдвиг и т.д.

Процедура продолжается до тех пор, пока в интервал сглаживания не войдет последнее наблюдение временного ряда.

Недостатком метода является невключение в процедуру сглаживания первых и последних p наблюдений временного ряда.

Метод простой скользящей средней возможно использовать, если графическое изображение ряда напоминает прямую линию. В этом случае не искажается динамика развития исследуемого процесса. Однако когда тренд выравниваемого ряда имеет изгибы и к тому же желательно сохранить мелкие волны, использовать для сглаживания ряда метод простой скользящей средней нецелесообразно, поскольку при этом:

выравниваются и выпуклые, и вогнутые линии;

происходит сдвиг волны вдоль ряда;

изменяется знак волны, т.е. на кривой, соединяющей сглаженные точки, вместо выпуклого участка образуется вогнутый и наоборот. Последнее имеет место в случаях, когда интервал сглаживания в полтора раза превышает длину волны.

Таким образом, если развитие процесса носит нелинейный характер, то применение метода простой скользящей средней может привести к значительным искажениям исследуемого процесса. В таких случаях более надежным является использование других методов сглаживания, например, метода взвешенной скользящей средней.

Метод взвешенной скользящей средней.

Этот метод отличается от предыдущего тем, что сглаживание внутри интервала производится не по прямой, а по кривой более высокого порядка. Это обусловлено тем, что суммирование членов ряда, входящих в интервал сглаживания, производится с определенными весами, рассчитанными по методу наименьших квадратов.

Если сглаживание производится с помощью полинома (многочлена) второго или третьего порядка, то веса берутся следующие:

для m=5 - веса (-3; 12; 17; 12; -3);

для m=7 - веса (-2; 3; 6; 7; 6; 3; -2) .

Особенности весов:

1) симметричны относительно центрального члена;

2) сумма весов с учетом общего множителя равна 1.

Недостаток метода: первые и последние p наблюдений ряда остаются не сглаженными.

В практических расчетах часто метод взвешенной скользящей средней реализуется с использованием формулы:

Метод экспоненциального сглаживания.

Рассмотренные методы простой и взвешенной скользящей средней не дают возможности сгладить первые и последние p наблюдений временного ряда. Отсутствие сглаженных первых наблюдений не так важно по сравнению с последними наблюдениями, особенно если целью исследования является прогнозирование развития процесса. Есть методы, позволяющие получить сглаженные значения последних уровней так же, как и всех остальных. К их числу относится метод экспоненциального сглаживания.

Особенность этого метода заключена в том, что в процедуре выравнивания каждого наблюдения используются только значения предыдущих уровней, взятых с определенным весом. Вес каждого наблюдения уменьшается по мере его удаления от момента, для которого определяется сглаживаемое значение. Сглаженное значение наблюдения ряда на момент времени t определяется по формуле:

где  - параметр сглаживания, характеризующий вес выравниваемого наблюдения, причем 01;

- величина, характеризующая начальные условия.

Задачу выбора параметра y₀, определяющего начальные условия, предлагается решать следующим образом: =y₁ или

Относительный вес каждого предшествующего уровня снижается по экспоненте по мере его удаления от момента, для которого вычисляется сглаженное значение (отсюда произошло название этого метода сглаживания).

При практическом использовании метода экспоненциального сглаживания возникают следующие затруднения: выбор сглаживающего параметра  и определение начального условия y₀. От численного значения параметра  зависит, насколько быстро будет уменьшаться вес предшествующих наблюдений и в соответствии с этим степень их влияния на сглаживаемый уровень. Чем больше значение параметра , тем меньше сказывается влияние предшествующих уровней и соответственно меньшим оказывается сглаживающее воздействие экспоненциальной средней.

Расчет показателей развития динамики экономических процессов.

Традиционными показателями, характеризующими развитие экономических процессов, были и остаются показатели роста и прироста.

На практике чаще применяют показатели темпа роста и темпа прироста:

(темп роста для i-го периода, к - определяет начальный уровень);

(темп прироста для i-го периода).

Среднюю скорость изменения изучаемого явления за рассматриваемый период характеризует средний темп роста. Обычно он рассчитывается по формуле средней геометрической:

Соответственно, средний темп прироста определяется как

.

Эти показатели используются при планировании деятельности хозяйствующего субъекта на основе традиционного принципа планирования (прогнозирования) от достигнутого уровня (от базы В):

.

Эти способы прогнозирования привлекательны из-за своей простоты, однако они имеют некоторые существенные недостатки и особенности:

• они учитывают начальный и конечный уровни ряда, исключая влияние промежуточных уровней;

• получение прогнозного значения методом среднего абсолютного прироста корректно, если динамика ряда близка к линейной;

• использование среднего темпа роста для прогнозирования соответствует его представлению в виде показательной или экспоненциальной кривой, и характерно для процессов с постоянным темпом роста.

В связи с этим данные подходы можно использовать лишь как ориентир будущего развития, как простейший приближенный способ прогнозирования. Они дают хорошие результаты в том случае, если сохраняется ранее сложившаяся тенденция роста или падения доходов.

Таким образом, основными достоинствами при использовании для целей прогнозирования показателей среднего темпа роста и прироста являются простота и доступность, основным недостатком – количественная неточность.

Для более точного решения задач анализа и моделирования тенденций изменения исследуемого показателя используются математические модели экономической динамики.

Математические модели прогнозирования, основанные на использовании одномерных временных рядов, делятся на два класса: модели кривых роста и адаптивные модели.

Параметры большинства "кривых роста", как правило, оцениваются по методу наименьших квад­ратов, т.е. подбираются таким образом, чтобы график функции "кри­вой роста" располагался на минимальном удалении от точек исходных данных. Согласно методу наименьших квадратов при оценке параметров модели всем наблюдениям присваиваются равные веса, т.е. их инфор­мационная ценность признается равной, а тенденция развития на всем участке наблюдений – неизменной.

Предпочтение, как правило, отдается простым моделям, допускающим содержательную интерпретацию. К числу наиболее простых относятся линейные модели роста

,

где - параметры модели, t = 1, 2, … , n.

Графическое представление этой модели – отрезок прямой на ретроспективе данных – показано ниже на рис. 1.

Рис.1. Аппроксимация динамики линейной кривой роста

Рассмотрим оценку параметров модели по методу наименьших квадратов (МНК), сводящемуся к поиску таких значений и , при которых сумма квадратов отклонений фактических данных от расчетных значений (модельных) является наименьшей. Математически критерий такой оценки параметров записывается в виде:

Для нахождения минимума функции двух переменных следует взять частные производные по и , а затем приравнять их нулю. В результате получим так называемую систему нормальных уравнений

.

Решая эту систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными, получим

где и - средние значения, соответственно, моментов наблюдения и уровней ВР.

Оценки указанных параметров можно получить с помощью программы Регрессия статистического пакета Анализ данных Excel.