§ 2 Оптимальное смешение

Цели

В данном параграфе показаны возможности использования модели линейного программирования для решения задач оптимального сме­шения. Наряду с рассмотренной в главе 1 задачей планирования производства это одна из наиболее известных областей приложе­ния модели линейного программирования. Модели оптимально­го смешения имеют много общего с моделями оптимального пла­нирования производства. В то же время существуют и некоторые особенности.

После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь формулировать и использовать для эконо­мического анализа следующие понятия:

• смесь;

• ингредиент смеси;

• компонент смеси;

• рецепт смешения.

Модели

Важный класс прикладных оптимизационных задач образуют задачи о смесях. Такие задачи возникают при выборе наилучшего способа смешения исходных ингредиентов для получения смеси с заданными свойствами. Смесь должна иметь требуемые свой­ства, которые определяются количеством компонентов, входящих в состав исходных ингредиентов. Как правило, известны стоимост­ные характеристики ингредиентов и искомую смесь требуется получить с наименьшими затратами. Для многопродуктовых за­дач, в которых требуется получить несколько смесей, характерным является критерий максимизации прибыли.

Задачи оптимального смешения встречаются во многих отрас­лях промышленности (металлургия, парфюмерия, пищевая про­мышленность, фармакология, сельское хозяйство). Примерами задач о смесях могут служить определение кормового рациона скота на животноводческих фермах, составление рецептуры ших­ты на металлургическом производстве и т.п. Рассмотрим сначала однопродуктовые модели оптималь­ного смешения.

Введем обозначения:

п — количество исходных ингредиентов;

т — количество компонентов в смеси

x_j — количество j-го ингредиента, входящего в смесь;

а_ij — количество i-го компонента в j-м ингредиенте;

c_j — стоимость единицы j-го ингредиента;

b_i — количество i-го компонента в смеси.

Модель A:

→ min, (1)

i =1,...,m, (2)

x_j>0, j= 1,..., п. (3)

Здесь (1) — целевая функция (минимум затрат на получение смеси);

(2) — группа ограничений, определяющих содержание ком-

понентов в смеси;

(3) — ограничения на неотрицательность переменных.

В задаче могут присутствовать также ограничения на общий объем смеси и ограничения на количество используемых ингре­диентов. Эти группы ограничений, а также ограничения (2) ха­рактерны для задачи планирования производства, рассмотренной в параграфе 1.

Введем обозначения:

п — количество исходных ингредиентов;

т — количество компонентов в смеси;

w — количество условий, отражающих содержание j-го ингре­диента в смеси;

x_j — количество j-ro ингредиента, входящего в смесь;

аij — доля i-го компонента в j-м ингредиенте;

b_i — минимально допустимая доля i-го компонента в смеси;

с_j — стоимость единицы j-го ингредиента;

drj — коэффициент, отражающий r-е условие на содержание j-го ингредиента в смеси.

Модель В:

→ min, (4)

, j=1,..., m, (5)

r=1,...,w , (6), (7)

(8)

Здесь (4) — целевая функция (минимум затрат на получение смеси);

(5) — группа ограничений, определяющих содержание

компонентов в смеси;

(6) — группа ограничений на содержание ингредиентов в

смеси;

7. — ограничение на количество смеси;

8. — ограничения на неотрицательность переменных.

Ограничения (5) и (6) отличают задачу смешения от задачи оптимального планирования производства. Заметим, что значения правых частей этих ограничений равны нулю. Вектор х* с компо­нентами х*, являющийся решением этой оптимизационной зада­чи, называют рецептом приготовления смеси или рецептом смешения.