Глава 2

Математические модели управленческих решений

§1 Оптимизация плана производства Цели

В данной главе показаны возможности использования модели линейного программирования (ЛП) для определения плана произ­водства. Эти возможности обобщаются для случая, когда закупка готовой продукции для последующей реализации может оказать­ся для производителя предпочтительнее, чем использование соб­ственных мощностей. Рассматривается также задача производ­ственного планирования, учитывающая динамику спроса, произ­водства и хранения продукции. Наиболее часто такого рода задачи возникают на уровне агрегированного планирования и оператив­ного управления микроэкономическими объектами.

После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь определять и использовать для экономи­ческого анализа:

• целевую функцию; » ограничения;

• допустимый план;

• множество допустимых планов;

• модель линейного программирования;

• оптимальный план;

• двойственные оценки;

• границы устойчивости.

Общая постановка задачи планирования производства: необхо­димо определить план производства одного или нескольких ви­дов продукции, который обеспечивает наиболее рациональное использование имеющихся материальных, финансовых и других видов ресурсов. Такой план должен быть оптимальным сточ­ки зрения выбранного критерия — максимума прибыли, миниму­ма затрат на производство и т.д.

Модели

Введем обозначения:

п — количество выпускаемых продуктов;

т — количество используемых производственных ресурсов (на­пример, производственные мощности, сырье, рабочая сила); a_ij — объем затрат i-го ресурса на выпуск единицы j--й продукции;

c_j — прибыль от выпуска и реализации единицы j--го продукта;

b_i — количество имеющегося i-го ресурса;

x_j — объем выпуска j-го продукта.

Формально задача оптимизации производственной программы может быть описана с помощью следующей модели линейного про­граммирования:

max, (1)

(2)

х_j > 0, j =1, ...,n. (3)

Здесь (1) — целевая функция (максимум прибыли);

(2) — система специальных ограничений (constraint) на

объем фактически имеющихся ресурсов;

(3) — система общих ограничений (на неотрицательность

переменных);

x_j — переменная (variable).

Задача (1)~(3) называется задачей линейного программирования в стандартной форме на максимум.

Задача линейного программирования в стандартной форме

на минимум имеет вид

→ min, (4),

i=1,...,m, (5)

x_ij>0, j= 1, .... п. (6)

Вектор x = (x₁ x₂, ..., x_n), компоненты x_j которого удовлетво­ряют ограничениям (2) и (3) (или (5) и (6) в задаче на минимум), называется допустимым решением или допустимым планом задачи ЛП.

Совокупность всех допустимых планов называется множеством допустимых планов.

Допустимое решение задачи ЛП, на котором целевая функция (1) (или (4) в задаче на минимум) достигает максимального (минималь­ного) значения, называется оптимальным решением задачи ЛП.

С каждой задачей ЛП связывают другую задачу ЛП, которая записывается по определенным правилам и называется двойствен­ной задачей ЛП.

Двойственной к задаче ЛП (1)—(3) является задача

→ min (7)

j= 1, .... n, (8)

У_i>0, i=1, ...,m. (9)

Соответственно, двойственной к задаче ЛП (7)—(9) является задача (1)—(3). Каждой переменной (специальному ограничению) исходной задачи соответствует специальное ограничение (пере­менная) двойственной задачи. Если исходная задача ЛП имеет решение, то имеет решение и двойственная к ней задача, при этом значения целевых функций для соответствующих оптимальных решений равны.

Компонента y_i* оптимального решения двойственной задачи (7)—(9) называется двойственной оценкой (Dual Value) ограниче-

ния: исходной задачи ЛП.