2.2. Частотные характеристики

Передаточная функция выражает свойства системы через комплексную переменную, которая содержит действительную и мнимую части: p = σ + jω. Мнимая часть имеет смысл циклической частоты колебаний. Если взять чисто мнимое значение комплексной переменной, p = jω, и ввести эту величину в передаточную функцию (2.6), получается частотная функция:

. (2.8)

Ее называют комплексная частотная характеристика, амплитудно-фазовая частотная характеристика, комплексный коэффициент усиления.

По определению, она записывается отношением частотных полиномов. Но возможны и другие формы записи. Обратим внимание на то, что частотный полином В(jω) в развернутом виде,

,

представляет собой сумму действительной и мнимой частей:

.

Так получается потому, что j = в четной степени будет либо – 1, либо + 1.

Частотный полином D(jω) в развернутом виде имеет ту же структуру:

D(jω) = D₁(ω) + jD₂(ω),

следовательно, комплексная частотная характеристика есть отношение двух комплексных чисел:

.

Умножение числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю, позволяет выделить действительную и мнимую части:

.

Первое слагаемое обозначим U(ω), второе V(ω). U(ω) называют действительной частотной характеристикой, V(ω) - мнимой частотной характеристикой. В краткой записи

W(jω) = U(ω) + jV(ω). (2.9)

Комплексное выражение (2.9) можно интерпретировать геометрически, отложив по оси абсцисс действительную частотную характеристику, по оси ординат – мнимую частотную характеристику, рис. 2.1.

Рис. 2.1. Геометрическая интерпретация W(jω)

Для заданной частоты U(ω) и V(ω) – пара чисел, определяющих положение точки М на плоскости. Соединив прямой А начало координат с точкой М, получим прямоугольный треугольник. Для него справедливы соотношения: , ,

, . (2.10)

Все величины – функции частоты ω.

Комплексную частотную характеристику, следовательно, можно записать в виде

W(j ω) = U(ω) + jV(ω) = A (cos ( ω) + j sin(ω)).

По формуле Эйлера . Поэтому

. (2.11)

А(ω) называют амплитудной частотной характеристикой или просто амплитудой. (ω) называют фазовой частотной характеристикой или просто фазой.

Для практических расчетов широко применяются логарифмические частотные характеристики. Их две: логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) и логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ).

ЛАЧХ называют графическое представление функции

L(ω) = 20 lg A(ω)

в зависимости от lg ω. Точнее, не самой функции, а ее асимптотических приближений в виде отрезков прямых. Асимптоты находят для области ω < 1 и для области ω > 1. Прямые строят по точкам пересечения с осями координат и между собой.

Для построения графика ЛФЧХ по ординате откладывают фазу, по абсциссе – соответствующий ей lg ω.

П

ример 2.2.

Записать комплексную частотную характеристику, частотные характеристики, амплитуду и фазу для системы, описываемой дифференциальным уравнением

.

Преобразуя по Лапласу, получаем операторное уравнение

(p² + 3p + 1) Y(p) = 2 X(p)

и передаточную функцию:

.

Подстановкой p = jω превращаем передаточную функцию в комплексную частотную характеристику:

.

Действительная частотная характеристика

.

Мнимая частотная характеристика

.

Амплитуда

.

Фаза

.

П

ример 2.3.

Найти комплексную частотную характеристику, амплитуду и фазу пропорционально-интегрального регулятора ( ПИ - регулятора ). Его уравнение .

(T – постоянная времени, k – коэффициент усиления).

Продифференцируем исходное уравнение,

и преобразуем по Лапласу:

.

Из операторного уравнения составим передаточную функцию:

.

Полагая p = jω, записываем комплексную частотную характеристику

,

находим частотные характеристики:

и амплитудную частотную характеристику:

.

Фаза в функции частоты имеет выражение

.

П

ример 2.4.

Найти логарифмическую амплитудную частотную характеристику ПИ - регулятора.

Воспользуемся выражением для амплитуды и запишем общий вид ЛАЧХ:

L(ω) = 20 lg A(ω) = 10 lg(k²T²ω² + 1) – 20 lg Tω.

Выделим асимптотические прямые.

В области ω < 1. С уменьшением ω слагаемое k²T²ω² становится пренебрежимо меньше единицы. Его можно отбросить. Тогда первый член L(ω) обращается в нуль вследствие lg 1 = 0. Остается

L₁ = – 20 lgT – 20 lg ω.

В области ω > 1. В первом слагаемом следует пренебречь единицей. В таком случае

L₂ = 20 lg k + 20 lg Tω - 20 lg Tω = 20 lg k.

Для построения графика надо найти точки пересечения прямой L₁ c осями координат и с прямой L₂. (По ординате откладывают L₁, L₂, по абсциссе lg ω).

Точка пересечения с осью ординат находится из условия lg ω = 0. Получается: L₁ = – 20 lg T = 20 lg (1/T).

Точка пересечения с осью абсцисс находится из условия L₁ = 0. Получается: lg ω = lg (1/T).

Точка пересечения прямой L₁ с прямой L₂ находится из условия L₁ = L₂. Получается: lg ω = lg (1/kT).

Вид графика показан на рис. 2.1.

Рис. 2.2. Асимптотическая логарифмическая

амплитудная частотная характеристика ПИ - регулятора