Находим передаточную функцию замкнутой системы

.

Записываем характеристический полином замкнутой системы

и соответствующий ему комплексный частотный полином

.

Его действительная и мнимая части:

, .

Определяем частоты пересечения, координаты точек пересечения, углы.

V(ω) = 0. = 0, U( ) = 4, φ( ) = 0.

= , ( ) = –2, φ( ) = 2 (/2).

U(ω) = 0. = , V( ) = , φ( ) = (/2).

ω = ∞ φ (ω) = – 3(/2).

Требование < < выполняется, углы последовательно возрастают, вектор D(jω) делает поворот на 3(/2) радиан.

Вывод: система устойчивая.

5.4. Критерий Найквиста

Критерий Гурвица и критерий Михайлова могут применяться для исследования устойчивости как разомкнутых, так и замкнутых систем, на основе характеристического полинома. Критерий Найквиста применяется для исследования устойчивости замкнутых систем. На основе комплексной частотной характеристики (амплитудно-фазовой частотной характеристики) разомкнутой системы.

КЧХ имеет действительное и мнимое слагаемые:

. (2.9)

Для построения КЧХ задают ω от 0 до ∞ и на комплексной плоскости получают годограф. Вид годографа, его расположение относительно точки – 1 на действительной оси, позволяют судить об устойчивости замкнутой системы.

Рассмотрим формулировки критерия Найквиста для трех случаев.

1. Разомкнутая система устойчива. Если годограф устойчивой разомкнутой системы при изменении ω от 0 до ∞ не охватывает точку –1 на оси абсцисс, то замкнутая система будет устойчивой. Охватывает – замкнутая система неустойчивая.

Примеры годографов, соответствующих устойчивой и неустойчивой замкнутой системам, представлены на рис. 5.8 и 5.9.

Рис. 5.8. Устойчивость

Рис. 5.9. Неустойчивость

Во второй формулировке критерия Найквиста используются понятие охвата точки годографом в положительном или отрицательном направлении. Положительным направлением считается такое, при котором конец вектора движется против часовой стрелки. Отрицательным – по часовой стрелке.

2. Разомкнутая система неустойчива. Если годограф неустойчивой разомкнутой системы при изменении ω от 0 до ∞ охватывает точку –1 на оси абсцисс в положительном направлении m/2 раз, где m – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы с положительной действительной частью, то замкнутая система будет устойчивой.

Примеры годографов, соответствующих устойчивой и неустойчивой замкнутым системам во втором случае, представлены на рис. 5.10 и 5.11 для m = 2.

Рис. 5.10. Устойчивость (m = 2)

5.11. Неустойчивость (m = 2)

Если разомкнутая система имеет передаточную функцию, содержащую в знаменателе множителем комплексную переменную р,

,

то комплексная частотная характеристика будет иметь неопределенность при ω = 0. Амплитуда становиться бесконечной. Годограф получается с бесконечной ветвью. Но если годограф мысленно дополнить зеркально отраженной ветвью и провести полуокружность бесконечно большого радиуса так, чтобы она пересекала положительную часть оси абсцисс, то такой прием позволяет использовать первую формулировку критерия Найквиста.

3. Разомкнутая система астатическая. Годограф зеркально отражается и кривые «замыкаются» на бесконечности. Тогда, если точка –1 на оси абсцисс оказалась вне замкнутой кривой – замкнутая система устойчивая. Если охватывается кривой – неустойчивая. Примеры таких годографов приведены на рис. 5.12 и 5.13.

Рис. 5.12. Устойчивость

Рис. 5.13. Неустойчивость

Замкнутая система будет находиться на границе устойчивости, если годограф разомкнутой системы проходит через точку –1 оси абсцисс. Аналитически это условие можно записать в виде

.

Кривые Найквиста наглядно показывают влияние коэффициента усиления на устойчивость системы. У комплексной частотной характеристики, в которой коэффициент усиления увеличивают, размеры и положение годографа меняются относительно точки с координатами (–1,0). Допустим, имеется кривая 1, отвечающая границе устойчивости, рис.5.14. Предельный коэффициент усиления k = k^. Кривая 2, для которой k  k^, отвечает устойчивой системе, кривая 3, для которой k  k^ - неустойчивой. Увеличение коэффициента усиления вызывает смещение влево точки пересечения кривой 2 с отрицательной частью действительной оси. То есть, может перевести систему из устойчивого состояния в неустойчивое.

Рис. 5.14. Влияние коэффициентов усиления на расположение

кривых Найквиста:

1  k = k^, 2  k k^, 3 – k  k^

Система, имеющая годограф, изображенный на рис. 5.14, с увеличением коэффициента усиления способна реализовать два состояния: «устойчивость – неустойчивость». Для более сложных кривых число состояний может увеличиваться.

Рис. 5.15. В системе возможны два перехода «устойчивость – неустойчивость»

Рис. 5.16. В системе возможны три перехода «устойчивость – неустойчивость»

Например, у кривой с одним максимумом в отрицательной полуплоскости (рис. 5.15) по мере увеличения коэффициента усиления устойчивое состояние сменяется неустойчивым, а затем снова устойчивым. У кривой с двумя максимумами (рис.5.16), при увеличении коэффициента усиления, реализуются состояния: «устойчивость – неустойчивость – устойчивость – неустойчивость». Система может устойчиво работать в двух разных интервалах изменения коэффициента усиления. Это свойство не обнаруживается применением критерия Гурвица или Михайлова.

Коэффициент усиления на границе устойчивости рассчитывают, приравнивая комплексную частотную характеристику минус единице:

.

Пример 5.10.

Дана передаточная функция разомкнутой системы:

.

Полагая k = 2 проверить с помощью критерия Найквиста, будет ли устойчивой замкнутая система?

Предварительно выясняем устойчивость разомкнутой системы по критерию Гурвица: система устойчива.

Найдем комплексную частотную характеристику разомкнутой системы:

.

Выделим действительный и мнимый частотные полиномы:

,

.

Построим годограф разомкнутой системы.

По условию V(ω) = 0 находим частоты пересечения годографом действительной оси и соответствующие значения U(ω):

V(ω) = 0, 4ω – ω³ = 0, = 0, = 2,

U(0) = 2. U(2) = – 0,18.

Полагая U(ω) = 0, находим частоту пересечения годографом мнимой оси и соответствующее значение V(ω):

U(ω) = 0, 1 – 3ω² = 0, ,

V(0,58) = – 0,94.

Для ω = 1 получаем U(1) = – 0,3, V(1) = – 0,46.

При ω = ∞ U(∞) = 0, V(∞) = 0.

Вид годографа показан на рис. 5.17.

Рис. 5.17. Годограф по условиям примера 5.10

Разомкнутая система устойчивая, годограф не охватывает точку (–1,0), значит, замкнутая система тоже устойчивая.

П

ример 5.11.

Система на границе устойчивости имеет передаточную функцию

.

Как зависит предельный коэффициент усиления k^ от параметров M и N?

Найдем комплексную частотную характеристику

.

На границе устойчивости . Приравнивая по отдельности действительную и мнимую части этого уравнения, получаем:

,

.

Корни второго уравнения: и . Границе отвечает ω₂.

Подставляя ω₂ в первое уравнение, получаем:

.

В примере 5.10 М = 3, N = 4, k^* = 11. Для такого коэффициента усиления U(2) = – 1. То есть, годограф проходит через точку – 1 оси абсцисс.

П

ример 5.12.

Передаточная функция разомкнутой системы

.

Выяснить устойчивость замкнутой системы.

Проверка по критерию Гурвица показывает, что разомкнутая система неустойчивая.

Запишем частотные характеристики:

.

, .

Точек пересечения годографа с осью абсцисс две: при и при = ∞.

,	U(0) = – 2,	V(0) = 0.
∞,	U(∞) = 0,	V(∞) = 0.

Другие точки годографа уточняют вид кривой.

,	U(1) = – 1,6,	V(1) = – 0,8.
,	U(2) = – 1,	V(2) = – 1.
,	U(6) = – 0,2,	V(6) = – 0,6.

Кривая располагается в третьем квадранте.

Годограф показан на рис. 5.18.

Рис. 5.18. Устойчивость для m = 1

Годограф охватывает в положительном направлении точку – 1 наполовину, m/2 = 1/2 раз. Критерий Найквиста удовлетворяется – замкнутая система устойчивая.

Вывод подтверждается, если записать передаточную функцию замкнутой системы:

.

По характеристическому полиному сразу видно, что корень отрицательный.

5.5. Выделение области

устойчивости D – разбиением

Устойчивость системы автоматического регулирования зависит от того, какими будут коэффициенты дифференциального уравнения, которое её описывает. Одна часть коэффициентов обеспечивает устойчивые решения дифференциального уравнения, другая часть – дополняющая первую - обеспечивает неустойчивые решения.

Идея метода D - разбиения заключается в том, чтобы найти границу между этими коэффициентами и тем самым указать область устойчивости. Для этого выделяют один или два важных коэффициента, изменяют их и исследуют, как меняются корни характеристического уравнения. Все остальные коэффициенты фиксируются.

Пусть дано характеристическое уравнение системы автоматического регулирования:

. (2.7.)

Пусть все коэффициенты заданы, кроме и . Предположим, что уравнение (2.7.) имеет в плоскости корней k корней слева от мнимой оси и n - k корней справа для каких–то значений и , рис. 5.19.

Рис. 5.19. Плоскость корней

Рис 5.20. Плоскость коэффициентов

Будем менять значения коэффициентов и и находить корни. Возможно, для некоторой совокупности значений и количество корней слева и справа от мнимой оси не меняется. Т. е. соотношение между k и n-k остается постоянным. Тогда как совокупность других значений коэффициентов и меняет соотношение между k и n–k. Можно указать границу, отделяющую область постоянного отношения k и  n –k. Эту область обозначают D(k, n–k), рис. 5.20.

Например, для характеристического уравнения четвертой степени

в плоскости коэффициентов могут быть следующие области:

D(0,4), D(1,3), D(2,2), D(3,1), D(4,0).

Всего n + 1 областей.

Из всех D(k, n–k) областью устойчивости будет только одна: D(n, 0). В ней все корни, располагающиеся слева от мнимой оси, имеют отрицательную действительную часть. Мнимая ось – граница устойчивости в плоскости корней. В плоскости коэффициентов кривая, отделяющая область устойчивости от области неустойчивости, будет ничем иным, как преобразованной мнимой осью.

5.5.1. D – разбиение по одному параметру

Изучение метода D - разбиения начнем с выяснения влияния на устойчивость одного параметра. При заданных значениях других параметров. Обозначим параметр символом λ. Это может быть коэффициент характеристического уравнения, или сочетание коэффициентов. Например, в уравнении

можно назвать параметром .

Допустим, сделан выбор . Тогда уравнение примет вид

.

Полином, который умножается на λ, обозначим Q(p), остальную часть S(p). Уравнение примет общий вид:

. (5.4)

Представив уравнение (5.4) в виде

, (5.5)

получаем λ как функцию переменной p.

Чтобы построить границы области устойчивости, полагаем

p = jω. Тогда λ (p) становится комплексным числом:

. (5.6)

Если теперь задавать ω от 0 до + ∞, вектор λ (jω) вычертит некоторую кривую на комплексной плоскости (U, V). Эта кривая отображает на плоскость U, V мнимую ось комплексной плоскости корней, то есть будет границей, по одну сторону которой k корней, по другую n– k.

Если задавать ω от 0 до – ∞, получится зеркальное отображение кривой для + ω. Поэтому кривую рассчитывают для положительных ω, а затем дополняют зеркальным отображением относительно действительной оси.

Чтобы разобраться, по какую сторону находятся k корней, область D - разбиения выделяется штриховкой. Соображения следующие.

При движении по мнимой оси в плоскости корней (рис. 5.21) от ω = – ∞ до ω = + ∞ та область, в которой находятся все корни устойчивости будет все время слева. Она показана штриховкой.

Рис. 5.21. Плоскость корней

Рис. 5.22. Кривые D-разбиения со штриховкой

Требуется, чтобы и в плоскости (U, V) область устойчивости находилась слева от кривой D-разбиения, если двигаться от – ∞ к + ∞. Левая сторона кривой штрихуется.

Рассмотрим в качестве примера кривую, изображенную на рисунке 5.22. На этой кривой показано, как надо наносить штриховку. Область устойчивости ограничена кривой со штриховкой внутрь.

Параметр λ по физическому смыслу есть величина действительная, поэтому для расчетов используется только отрезок действительной оси, охваченной кривыми со штриховкой внутрь: от точки 1 до точки 2 на рис. 5.22.

П

ример 5.13

Дано характеристическое уравнение:

.

Пусть параметром будет λ, одно из значений которого λ=1 проставлено в уравнении. Надо найти, в каком интервале изменений λ характеристическое уравнение отвечает устойчивой системе автоматического регулирования.

Из уравнения:

выделим: . Полагая , находим:

,

,

Полагая V(ω) = 0, найдем частоты и точки пересечения кривой с осью абсцисс: ω₁ = 0, U(0) = 0, ω₂ = 1, U(1) = 1. Неограниченно увеличивая ω выясним, что U  ∞ и V  ∞, кривая уходит в бесконечность в верхней правой полуплоскости. В интервале 0  ω  1 U  1 и V  0. Для промежуточных значений U и V ход кривой уточняется заданием соответствующих частот. По совокупности данных строится кривая D-разбиения для положительных частот и дополняется зеркальным отображением. Наносится штриховка слева при движении по кривой от – ∞ к + ∞.

Результат показан на рис. 5.23. Интервал устойчивых значений λ есть отрезок действительной оси от 0 до 1.

Контрольная проверка по критерию Гурвица для λ = 0,5.

Рис. 5.23. Кривые D- разбиения по условиям примера 5.13

Записываем характеристическое уравнение:

.

Коэффициенты: a₀ = 1, a₁ = 1, a₂ = 1, a₃ = 0,5. Действительно, a₁a₂ – a₀a₃ > 0, система устойчива.

П

ример 5.14.

Дано характеристическое уравнение вида:

.

Требуется найти значения Т, при которых система будет устойчивой.

Назначив Т параметром, выделим λ:

Полагая получаем:

Запишем действительную и мнимую части:

Анализ формул показывает:

- при ω = 0 U = ∞, V = ∞;

- при ω = 1 U = 1, V = 0; кривая V (U) пересекает действительную ось;

- при ω = ∞ U = 0, V = – ∞;

Кривая начинается в + ∞, пересекает ось абсцисс и неограниченно приближается к мнимой оси, уходя в  ∞.

Для уточнения хода кривой V (U) можно взять точки:

ω = 0,5, U = 4, V = 1,5.

ω = 2, U = 0,25, V = – 1,5;

, U = 0,5 V = – 0,7;

ω = 0,82, U = 1,5, V = – 0,4.

Построив на плоскости (U, V) кривую для положительных частот, отображаем ее зеркально относительно действительной оси и получаем кривую для отрицательных частот, рис. 5.24. Нанеся штриховку, получаем область устойчивости. Устойчивость системы обеспечивают те значения параметра λ, которые располагаются на отрезке действительной оси от 1 до ∞. Контрольная проверка по критерию Гурвица подтверждает вывод.

Рис. 5.24. Кривые D- разбиения по условиям примера 5.14

П

ример 5.15.

Дано характеристическое уравнение вида

.

Требуется найти интервал значений параметра λ, при которых САР будет устойчивой.

Записав

и положив p = jω, получаем комплексный параметр λ в виде

.

Выделяем действительную и мнимую части:

.

Задаем ω и рассчитываем U и V для построения кривой V (U):

ω	U	V
0	∞	– ∞
2,36	9	– 6,7
3,16	5	0
4	3,1	1,9
5	2	2,4
5,45	1,68	2,44
6	1,4	2,4
10	0,5	1,8
∞	0	0

Построив кривую для положительных ω, дополняем ее зеркально отображенной (для отрицательных ω). Результат показан на рис. 5.25.

Рис. 5.25. Кривые D- разбиения по условиям примера 5.15

Вывод: САР устойчива при значениях λ, принадлежащих интервалу 0  λ  5. Границе устойчивости отвечают λ = 0 и λ = 5.

Контрольная проверка по критерию Гурвица: все коэффициенты характеристического уравнения больше нуля, определитель a₁ a₂ - a₀a₃ > 0.

5.5.2. D - разбиение по двум параметрам

В основе лежит допущение, что в характеристическом уравнении можно выделить два параметра, М и N, которые могут изменяться, а остальные параметры заданы. Параметром может быть коэффициент или комбинация коэффициентов.

Если параметры М и N входят в характеристическое уравнение линейно, то характеристическое уравнение может быть представлено в виде

MQ(p) + NR(p) + H(p)=0, (5.7)

где Q, R, H – некоторые полиномы.

Выделение областей устойчивости в плоскости параметров N и М достигается следующей процедурой.

Подставляем в характеристическое уравнение p = jω. Полиномы Q, R, H распадаются на вещественные и мнимые части:

,

,

.

Теперь их надо ввести в характеристическое уравнение (5.7) и выделить действительные и мнимые слагаемые:

Если комплексное выражение равно нулю, значит его действительное и мнимое слагаемые по отдельности равны нулю:

,

.

Получается два линейных уравнения для определения параметров M и N:

,

. (5.8)

Величины Q₁, Q₂, R₁, R₂ рассматриваются как коэффициенты, а М и N – как переменные.

Определитель системы

.

Определители параметра М и параметра N:

.

Определитель получается из определителя системы заменой элементов первого столбца свободными членами системы. Определитель – заменой элементов второго столбца свободными членами системы.

Для конкретного значения ω:

.

На плоскости M, N это будет точка. Задавая ω от нуля до бесконечности, в плоскости M, N можно построить кривую, которая и есть граница D - разбиения. Система уравнений (5.8) имеет решение, если Δ ≠ 0 и Δ_M  0, Δ_N ≠ 0; и не имеет решения, если Δ = 0 (точка с координатами (M, N) уходит в бесконечность). В случае Δ = 0, Δ_M = 0, Δ_N = 0, значения M и N становятся неопределенными. Уравнения (5.8) становятся зависимыми и определяют собой не точку, а прямую в плоскости M, N. Такая прямая называется особой прямой. В большинстве случаев особые прямые получаются для ω = 0 и ω = ∞.

Область устойчивости выделяется штриховкой. Правило штриховки следующее.

Если определитель Δ > 0, то двигаясь по D - кривой от ω = – ∞ до ω = + ∞, штрихуют левую сторону. Если Δ < 0, то штрихуют правую сторону ( знак определителя меняется, если + ω заменить на – ω ).

Пример 5.16.

Дано характеристическое уравнение

.

Произвести D - разбиение в плоскости параметров M и N.

Полагая p = jω, находим: .

Запишем для условий задачи систему уравнений (5.8). Если какой-то из полиномов Q₁, Q₂, R₁, R₂ окажется равным нулю, вместо него надо поставить ноль.

; надо записать ,

; надо записать .

Определитель системы будет: .

Определители параметров:

,

Получаем: , . Функциональная зависимость между коэффициентами M и N представляет собой равнобочную гиперболу: MN = 1. График представлен на рис. 5.26.

Рис. 5.26. Кривые D- разбиения по условиям примера 5.16

Верхняя ветвь гиперболы уходит в ∞ как для положительных, так и для отрицательных значений ω. Нижняя ветвь гиперболы уходит в ∞ при стремлении к нулю положительных и отрицательных значений ω. Учитывая эти обстоятельства, штриховка получается двойной: Δ < 0 при изменении ω от 0 до + ∞ (штриховка справа) и Δ > 0 при изменении ω от – ∞ до 0 (штриховка слева).

П

ример 5.17.

Определить область устойчивости в плоскости параметров M и N для уравнения:

.

Полагая p = jω, образуем частотное уравнение . Записываем его действительное и мнимое слагаемые в виде системы двух уравнений:

,

.

Составляем определитель системы

и определители параметров:

, .

Находим параметры:

, .

При неограниченном возрастании частоты M стремится к еденице, N стремится к бесконечности. При стремлении ω к нулю M стремится к бесконечности, N к нулю. Вид кривой D - разбиения показан на рис. 5.27. Замена ω на - ω вида кривой не меняет.

Рис. 5.27. Кривые D- разбиения по условиям примера 5.17

Для значений 0  ω  + ∞ определитель Δ  0, штриховка наносится справа. Для – ∞  ω  0 определитель Δ  0, штриховка слева. Получается двойная штриховка в сторону области устойчивости, рис. 5.27.