5.3. Критерий Михайлова

Устойчивость системы выясняется по характеристическому полиному передаточной функции:

, (2.5)

где n – степень полинома.

Полагая , преобразуем характеристический полином в частотный полином:

.

В зависимости от степени, число (jω)ⁿ либо действительное, либо мнимое. По этой причине частотный полином распадается на действительную часть U(ω) и мнимую часть V(ω):

, (5.7)

(5.8)

. (5.9)

U(ω) – четная функция ω, V(ω) – нечетная функция ω. По этому признаку полиномы (5.8) и (5.9) можно назвать «четный» и «нечетный».

Задавая какое-либо значение частоты ω₁, из (5.8) и (5.9) получим числа U(ω₁) и V(ω₁). Вместе они образуют комплексное число D(jω₁). На комплексной плоскости оно обозначается точкой М(U,V), рис. 5.1. Множество точек М(U,V), отвечающих разным частотам, образуют кривую, которая называется годографом Михайлова. Годографы Михайлова имеют разный вид для устойчивых и неустойчивых систем.

Рассмотрим годографы Михайлова для устойчивых систем.

В случае устойчивых систем годограф Михайлова имеет свойство начинаться с точки U(0) = a_n, V(0) = 0, рис. 5.1. По мере увеличения ω от нуля до бесконечности, точка М(U,V) перемещается влево так, что кривая стремится охватить начало координат, одновременно удаляясь от него. Если провести радиус-вектор из начала координат в точку М(U,V), то окажется, что радиус-вектор будет поворачиваться против часовой стрелки, непрерывно увеличиваясь. Непрерывно увеличивается и угол, который он образует с осью абсцисс. Представив комплексное выражение (5.7) в экспоненциальной форме,

,

обнаруживаем, что радиус-вектор есть модуль частотного полинома |D(jω)|, а угол φ(ω) – аргумент. Модуль имеет величину , аргумент равен .

Вид годографа Михайлова зависит от степени n характеристического полинома (2.5). Годографы полиномов первых четырех степеней показаны на рис. 5.2. Они соответствуют устойчивым системам. Анализ годографов устойчивых систем позволяет сделать выводы, которые и составляют содержание критерия Михайлова.

Можно дать три формулировки критерию Михайлова.

Первая формулировка. Если при изменении частоты от нуля до бесконечности годограф Михайлова начинается на действительной оси в точке a_n, последовательно проходит против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, не проходя через ноль, и уходит в бесконечность в n-м квадранте, - система устойчива.

Рис.5.1. Геометрическое представление частотного полинома D(jω)

Рис. 5.2. Годографы Михайлова для разных степеней полиномов

Вторая формулировка. Если при изменении частоты от нуля до бесконечности вектор комплексного частотного полинома D(jω) последовательно поворачивается против часовой стрелки на угол n(/2), где n – степень характеристического полинома, и нигде не становится нулем, - система устойчива.

Обратим внимание на частоты, при которых годограф пересекает оси координат. Назовем их частоты пересечения. Первая частота нулевая, с нее начинается годограф. При =0 U(0) = a_n, V(0) = 0. Вторая отвечает точке пересечения годографом положительного отрезка оси ординат, U( ) = 0, V( ) – какое-то число. Непрерывно увеличивая частоту, при некоторой, равной , получим пересечение годографа с отрицательной частью оси абсцисс. Очевидно, четвертым будет пересечение с отрицательной частью оси ординат при частоте . Далее последуют частоты пересечения , , …, . Все они действительные положительные числа, каждое последующее больше предыдущего.

Третья формулировка критерия Михайлова: если частоты пересечения годографа с осями координат чередуются и образуют возрастающую последовательность вида

< < <… ,

- система устойчивая.

В отличие от предыдущих, третья формулировка позволяет исследовать устойчивость системы без построения годографа, аналитически. Соображения следующие.

Каждому пересечению годографом действительной оси (когда V( ) = 0) будет соответствовать корень нечетного полинома V( ). Каждому пересечению мнимой оси (когда U( ) = 0) будет соответствовать корень четного полинома U( ). Следовательно, по мере увеличения ω корни полиномов V( ) и U( ) для устойчивой системы должны чередоваться (корень полинома V( ) сменяется корнем полинома U( ) и т.д.); корень каждого последующего пересечения оси должен быть больше предыдущего, все корни должны быть действительными. Общее число корней равно степени характеристического полинома.

В случае неустойчивых систем кривые не охватывают начало координат, чередования частот нечетного и четного полиномов нет, рис. 5.3.

Рис. 5.3. Годографы Михайлова неустойчивых систем

Рис. 5.4. Годографы Михайлова систем на границе устойчивости

Если годограф начинается из начала координат или проходит через начало координат, система находится на границе устойчивости, рис. 5.4.

П

ример 5.6.

Построить годограф Михайлова для характеристического уравнения

2 p + 1 = 0.

Имеем: D(jω) =1 + j2ω, U(ω) = 1, V(ω) = 2ω, , tg φ = 2ω. Полагая V(ω) = 0, получаем начало годографа: |D(jω)| = 1. В пределах 0  ω ∞ угол меняется от φ = 0 до φ = /2, т.е. вектор D(jω) поворачивается против часовой стрелки один раз на π/2. При этом, V(ω) растет, а U(ω) остается равным 1. Годограф получается в виде прямой, параллельной мнимой оси, рис. 5.5.

Рис. 5.5. n = 1

Рис. 5.6. n = 2

П

ример 5.7.

Выяснить устойчивость системы с характеристическим уравнением второй степени

9p² + 4 p + 2 = 0.

Комплексный частотный полином, его действительное и мнимое слагаемые имеют вид:

D(jω) = – 9 ω² + j4ω + 2,

U(ω) = 2 – 9 ω²,

V(ω) = 4 ω .

Полагая V(ω) = 0, находим: первая частота пересечения = 0. Годограф начинается в точке U( ) = 2. Пересечение годографа с мнимой осью задается уравнением U( ) = 0. Находим: вторая частота пересечения = 0,47. Ордината пересечения V( )  1,9. Во втором квадранте, с увеличением частоты, годограф уходит в бесконечность. График показан на рис. 5.6.

Годограф проходит первый квадрант и уходит в бесконечность во втором. Вектор D(jω) поворачивается на угол, равный степени характеристического уравнения, умноженной на /2: Корни действительные, ω₁  ω₂ и требование последовательного возрастания частот пересечения выполняется. Следовательно, система устойчива.

П

ример 5.8.

Разомкнутая система имеет передаточную функцию

.

Выяснить устойчивость замкнутой системы.

Характеристическое уравнение замкнутой системы

0,009p³ + 0,02p² +1,1p + 10 = 0.

Комплексный частотный полином, нечетный и четный полиномы:

D(jω) = – j 0,009ω³ – j 1,1ω + 10 – 0,02 ω²,

V(ω) = 1,1ω – 0,009ω³,

U(ω) = 10 – 0,02 ω².

Частоты пересечения:

V(ω) = 0, = 0, = 11,0.

U(ω) = 0, = 22,4.

Требование чередования частот при последовательном возрастании не выполняется:

  .

Следовательно, система неустойчива.

Подтверждение этому получим, вычислив значения угла поворота вектора D(jω) при частотах пересечения с осями. Запишем тангенс аргумента:

.

Вычисляем: ω₁ = 0, tg φ = 0, φ₁ = 0.

ω₂ = 22,4, tg φ = – ∞, φ₂ = – 90.

ω₃ = 11,0 tg φ = 0,00, φ₃ = 0.

Угол φ не возрастает последовательно для каждой частоты пересечения. И не становится равным степени характеристического уравнения, умноженной на /2.

Как выглядит годограф Михайлова, показано на рис. 5.7.

Т аблица данных

ω	U	V
0	10	0
5	9,5	4,4
11	7,6	0
15	5,5	–14
22,4	0	–76

Рис. 5.7. n = 3

Кривая не охватывает начала координат. Система неустойчивая.

П

ример 5.9.

Система с передаточной функцией

замыкается. Будет ли она устойчивой?