Записываем операторное уравнение

и передаточную функцию системы:

.

Полиномы числителя и знаменателя имеют вид:

, .

Характеристическое уравнение разомкнутой системы D(p) = 0, то есть,

.

Корни этого характеристического уравнения действительные:

, .

Пример 5.2.

Используя дифференциальное уравнение предыдущего примера, найти характеристическое уравнение и его корни для замкнутой системы.

Подставляя передаточную функцию разомкнутой системы в формулу (5.6), получаем характеристическое уравнение замкнутой системы:

.

Его корни:

.

Они могут быть как действительными (4kT < 1), так и комплексными (4kT > 1).

5.2. Критерий Гурвица Для характеристического уравнения

.

составляется специальный определитель по следующему правилу.

Намечают n строк и n столбцов (n – степень характеристического уравнения). В первый строке ставят все нечетные коэффициенты: , , , . . . По главной диагонали, начиная с коэффициента , слева-вниз-направо располагают последовательно все остальные коэффициенты. Столбцы, начиная с главной диагонали, заполняются вверх по нарастающим индексам, вниз - по убывающим. Все коэффициенты с индексами ниже нуля и выше степени уравнения, заменяют нулями. Получается определитель n-го порядка:

Определитель Δ_n , а так же определители

, , , . . . ,

называют определителями Гурвица.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы были положительными все коэффициенты и все определители характеристического уравнения системы:

, , , …, > 0, , , , …, > 0.

Получим условия устойчивости для конкретных уравнений.

1. Характеристическое уравнение 2-й степени:

.

Ему соответствует определитель Гурвица 2-го порядка:

= .

Условие устойчивости: , , > 0, все коэффициенты должны быть положительными.

2. Характеристическое уравнение 3-й степени:

.

Ему соответствует определитель Гурвица 3-го порядка:

= .

Определитель = . Неравенство , после сокращения на , получает вид . То есть, . Условиями устойчивости будут: , .

3. Характеристическое уравнение 4-й степени:

.

Ему соответствует определитель Гурвица 4-го порядка:

= .

Определители второго и третьего порядков имеют вид:

= ,

= .

Неравенство , после сокращения на а₄, получает вид . То есть, . Значит, условиями устойчивости будут: , , .

4. Характеристическое уравнение 5-й степени:

.

Опуская процедуру вычисления определителя, выпишем сразу условия устойчивости:

,

= ,

Δ₄ = .

Можно показать, что при соблюдении этих неравенств неравенства > 0 и > 0 всегда выполняются. Поэтому их не включают в условия устойчивости системы пятой степени.

Можно составлять определители Гурвица и для характеристических уравнений более высокой степени, получая соответствующие условия устойчивости. Однако, объем вычислений нарастает с увеличением степени характеристического уравнения, поэтому считается приемлемым пользоваться критерием Гурвица для характеристических уравнений степени не выше пятой.

Определитель Гурвица позволяет найти коэффициент усиления на границе устойчивости. Коэффициент усиления – это свободный член характеристического уравнения, его индекс равен степени уравнения. Границей устойчивости будет условие Δ_n-1 = 0. Откуда и вычисляется коэффициент усиления.

П

ример 5.3.

Дана система, характеристическое уравнение которой имеет вид:

Выяснить, будет ли система устойчивой, если = 1, = 2,  = 3, k = 19? Каким должен быть коэффициент усиления на границе устойчивости?

Записываем характеристическое уравнение 3-й степени в общем виде, сопоставляем его с заданным и заключаем:

= , = + + ,

= + + , =1+k.

Все коэффициенты больше нуля, но надо проверить, будет ли определитель Гурвица больше нуля. Подставив числа в неравенство , обнаруживаем, что оно не выполняется: 66 - 120 < 0. Определитель оказался отрицательным. Следовательно, система неустойчива.

На границе устойчивости . Подставляя числа, имеем: 11 · 6 = 6 (1 + k). Коэффициент усиления на границе устойчивости k = 10.

Пример 5.4.

Выяснить, будет ли устойчивой система с характеристическим уравнением

.

Сопоставив данное уравнение с его общим видом, получаем:

= 5, = = 0, = 1, = 2.

По условию устойчивости a₁ a₂ – a₀ a₃ > 0. Это не выполняется:

-5∙1 < 0. Система неустойчива, хотя все коэффициенты положительные.

П

ример 5.5.

Звенья, передаточные функции которых

и ,

соединяются последовательно. Выяснить, будет ли такая система устойчивой? Какую величину имеет постоянная времени T₀ на границе устойчивости замкнутой системы?

Находим передаточную функцию разомкнутой системы

.

Ее знаменатель, приравненный к нулю, есть характеристическое уравнение. После сокращения на характеристическое уравнение выглядит так:

.

Сопоставляя с записью характеристического уравнения в общем виде, делаем вывод:

, , , .

Для уравнения 3-й степени условия устойчивости требуют, чтобы , .

Это соблюдается: , – 0 > 0. Следовательно, разомкнутая система устойчива.

Составим характеристическое уравнение замкнутой системы. Это будет сумма полиномов числителя и знаменателя, приравненная нулю:

.

Выписываем коэффициенты:

.

Выясняем устойчивость:

.

Замкнутая система будет устойчивой, если

.

На границе устойчивости определитель равен нулю, из чего заключаем:

.