4.4.2.4. Перенос сумматора с входа звена на выход

Исходная схема имеет два входных сигнала Х₁ и Х₂ и один выходной сигнал Х₄, рис. 4.15 а. Выходной сигнал связан с входными уравнением Х₄ = K Х₃ = K Х₁ + K Х₂. Эквивалентная схема должна иметь те же входные и выходной сигналы.

Чтобы в эквивалентной схеме получить тот же сигнал Х₄, в линию входного сигнала Х₂ следует ввести корректирующее звено с передаточной функцией K_к. Тогда сигнал Х₄ окажется связанным с входными сигналами уравнением:

Рис. 4.15 а. Система до перестановки

Рис. 4.15 б. Эквивалентная структурная схема

Сравнивая его с исходным уравнением Х₄ = K Х₁ + K Х₂, приходим к заключению, что корректирующая передаточная функция K_к = K. Что и обозначено на схеме рис. 4.15 б.

Вывод: перенос сумматора с входа звена на выход, при условии сохранения входных и выходных сигналов системы, требует включения в линию второго подаваемого на сумматор сигнала звена, с передаточной функцией, одинаковой с заданной.

П

ример 4.10.

Найти передаточную функцию системы, структурная схема которой изображена на рис. 4.16.

Рис. 4.16. Исходная структурная схема

Звенья с передаточными функциями K₃ и K₄ соединены параллельно. Сделаем первое упрощение схемы, заменив их передаточной функцией . Из схемы устраняются узел 2 и сумматор С₄. Также переставим сумматоры С₁ и С₂. Схема примет вид:

Обнаруживаем, что звено с передаточной функцией K₁ охвачено положительной обратной связью через звено с передаточной функцией K₂. Схема упрощается, если ввести передаточную функцию . Сумматор С₁ и узел 1 устраняются. Остается:

Дальнейшее упрощение схемы связано с переносом узла 4 с выхода звена K₅ на его вход и перестановкой с узлом 3. В ответвлении от узла 4 появляется звено K₅, последовательно включенное со звеном K₆.

Обнаруживается замкнутый контур из звеньев с передаточными функциями W_3-4, K₅ и K₆. Его можно заменить звеном с передаточной функцией . Сумматор С₃ и узел 4 устраняются. Схема приобретает вид:

Выражая последний замкнутый контур звеном , приходим к схеме

Следовательно, передаточная функция системы, имеющей структурную схему, показанную на рис. 4.16, есть

,

или, в развернутом виде,

.

Литература

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория автоматического управления. – СПб , изд-во «Профессия» , 2004. – 752 с.

2. Егоров К.В. Основы теории автоматического регулирования. – М.: Энергия, 1967. – 648 с.

3. Макаров И.М., Менский Б.М. Линейные автоматические системы. – М.: Машиностроение, 1947. – 464 с.

4. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование. Теория и элементы систем. – М.: Машиностроение, 1973. – 606 с.

5.1. Понятие об устойчивости

Система, которая после завершения переходного процесса приходит к состоянию установившегося равновесия, называется устойчивой. В устойчивой системе регулируемая величина со временем стремится к постоянному значению.

Система называется неустойчивой, если после устранения воздействия она удаляется от состояния равновесия или совершает около него недопустимо большие колебания. В неустойчивой системе регулируемая величина со временем возрастает.

Если заранее выяснить, будет ли регулируемая величина неограниченно возрастать после воздействия, можно получить ответ на вопрос об устойчивости системы.

Характер воздействия на систему и поведение управляемой величины описывается дифференциальным уравнением. Оно было записано для разомкнутой системы в главе 2:

(2.1)

Когда воздействие на систему прекращается, правая часть обращается в ноль и дальнейшее изменение управляемой величины описывается однородным дифференциальным уравнением

. (5.1)

Решение однородного уравнения показывает, возрастает или не возрастает со временем управляемая величина. Решение ищут, полагая y(t) = e^pt. Беря производные и подставляя в уравнение (5.1) находят характеристическое уравнение

(2.7)

решая которое, получают корни p_i. Полное решение уравнения (5.1) слагается из экспонент:

(5.2)

где С_i – постоянные интегрирования.

Функция y(t) – описывает переходной процесс; он полностью определяется значением корней p_i.

Корни характеристического уравнения могут быть действительными, комплексными, мнимыми. Если корни действительные и отрицательные, каждая экспонента со временем стремится к нулю, следовательно, y(t)  0. По окончании переходного процесса система приходит к состоянию установившегося равновесия.

Если корни действительные и положительные, все экспоненты со временем неограниченно возрастают, y(t)  ∞. Процесс неустойчивый, система удаляется от состояния равновесия.

Если корни комплексно-сопряженные с отрицательной действительной частью, каждая экспонента со временем стремится к нулю, имея колебательную составляющую. И в этом случае y(t)  0. Система, следовательно, устойчивая.

В случае комплексно-сопряженных корней с положительной действительной частью система неустойчивая.

При наличии чисто мнимых корней выходная величина совершает гармонические колебания. Мнимые корни соответствуют границе устойчивости.

Итак, система устойчива только в том случае, когда действительная часть корней характеристического уравнения отрицательная.

Для суждения об устойчивости необязательно решать дифференциальное уравнение. Как было показано в Главе 2, дифференциальному уравнению (2.1) соответствует передаточная функция

, (2.6)

где ,

.

Знаменатель передаточной функции – характеристический полином. Будучи приравнен нулю, он дает характеристическое уравнение:

(5.3)

Дифференциальные уравнения (2.1), (5.1) и передаточная функция (2.6) описывают разомкнутую систему, следовательно, характеристическое уравнение (5.3) тоже относится к разомкнутой системе.

Зная передаточную функцию разомкнутой системы W(p), можно записать передаточную функцию замкнутой системы:

. (4.6)

Заменяя W(p) по формуле (2.6), получаем:

. (5.4)

Знаменатель – характеристический полином замкнутой системы.

Сравнивая формулы (5.7) и (2.6), по аналогии заключаем, что уравнение

(5.5)

представляет собой характеристическое уравнение замкнутой системы. Поделив (5.5) на D(p), получаем характеристическое уравнение замкнутой системы, выраженное через передаточную функцию разомкнутой системы:

. (5.6)

П

ример 5.1.

Дано дифференциальное уравнение разомкнутой системы:

.

Найти характеристическое уравнение и его корни.