4.2. Передаточные функции систем
4.2.1. Последовательное соединение звеньев
Рассмотрим систему из трех последовательно соединенных звеньев с передаточными функциями K1, K2, K3, рис. 4.1.
Рис. 4.1. Схема последовательного соединения звеньев
Входная
величина системы Х1,
выходная Y.
Передаточные функции K1,
K2,
K3
считаются известными. Надо найти
передаточную функцию системы
.
Применяя метод обратных движений, выразим Y, X3, X2 через K3, K2, K1 и последовательно исключим промежуточные сигналы.
.
Следовательно,
.
Нетрудно вывести для любого числа последовательно соединенных звеньев передаточную функцию системы
.
(4.1)
Если какие то группы звеньев соединены заранее, можно найти «групповые» передаточные функции Wi и затем соединить последовательно. Структура формулы для определения передаточной функции системы не измениться:
.
(4.2)
Пример 4.1.
Интегрирующее звено соединяется последовательно с инерционным звеном. Какова будет передаточная функция системы?
Передаточные функции звеньев:
,
.
Согласно формуле (4.1), передаточная функция системы
,
где
.
П
Неустойчивое звено с передаточной функцией
последовательно
соединяется с неустойчивым звеном,
имеющим передаточную функцию
.
Выяснить, при каком условии система будет устойчивой.
Передаточная функция системы
.
Если
положить
,
передаточная функция системы принимает
вид:
.
Передаточная функция не содержит знака
«минус», что является признаком
устойчивости. Значит, условие устойчивости
системы
.
П
Интегрирующее звено соединяется последовательно с реальным дифференцирующим звеном. Найти передаточную функцию.
Передаточные функции звеньев:
,
и
.
Перемножая, получаем передаточную функцию соединения:
,
где . Она оказалась передаточной функцией инерционного звена.
(Пример показывает, что инерционное звено можно заменить последовательным соединением интегрирующего и реального дифференцирующего звеньев).
4.2.2. Параллельное соединение звеньев
Рассмотрим схему из трех параллельно соединенных звеньев с передаточными функциями K1, K2, K3, рис. 4.2.
Рис. 4.2. Схема параллельного соединения звеньев
Каждое i-звено имеет одинаковый входной сигнал Х и разные выходные сигналы Yi. Все входные сигналы звеньев равны входному сигналу системы Х. Выходной сигнал системы равен сумме выходных сигналов звеньев: Y = Y1 + Y2 + Y3. Передаточные функции K1, K2, K3 считаются известными. Надо найти передаточную функцию системы W = Y/X.
Записываем:
.
Не представляет труда вывести для любого числа параллельно соединенных звеньев передаточную функцию системы:
.
(4.3)
Если параллельно соединяются не звенья, а группы уже соединенных звеньев с передаточными функциями Wi, то в формулу (4.3) войдут передаточные функции Wi:
.
(4.4)
П
Пропорционально-интегральный регулятор получают параллельным соединением двух звеньев, уравнения которых
и
.
Найти передаточную функцию системы.
Составим операторные уравнения (предварительно продифференцировав второе уравнение, чтобы избавиться от интеграла):
, 
.
Запишем передаточные функции звеньев:
, 
и, следуя формуле (4.3.), получим:
.
П
Пропорционально-дифференциальный регулятор образуется параллельным соединением усилительного и идеального дифференцирующего звеньев.
Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение системы.
Запишем передаточные функции звеньев,
,
и согласно формуле (4.3.) получим:
.
Операторное уравнение
показывает, что дифференциальным уравнением регулятора будет
.