В случае ξ 0,3 нужно пользоваться точной лачх из-за возрастания амплитуды в окрестности резонансной частоты.
Переходная функция есть решение уравнения (3.8) при x = 1:
,
где
ω0
= 1/T,
.
Переходная функция описывает затухающие колебания. Колебания затухают тем медленнее, чем меньше ξ. При ξ = 0 колебания совершаются с постоянной амплитудой, т.е. становятся гармоническими. Звено, реализующее гармонические колебания называют консервативным.
3.7. Апериодическое звено второго порядка
Оно описывается тем же дифференциальным уравнением (3.7.), что и колебательное звено, но при условии Т0 > 2T. Корни характеристического уравнения становятся действительными, звено перестает быть колебательным и превращается в апериодическое.
Операторное уравнение
(T2p2 + T0 p +1)Y(p) = kX(p).
Передаточная функция
.
При отсутствии изменения выходной величины (p = 0) K(p) = k, коэффициенту усиления.
Комплексная частотная характеристика
.
Действительная и мнимая частотные характеристики
,
.
Амплитуда
Последнее выражение показывает, что амплитудная частотная характеристика резко отличается от таковой для колебательного звена, рис. 3.10. При ω = 0 значение амплитуды равно k. С увеличением частоты амплитуда уменьшается до нуля. То есть, это монотонная кривая.
Рис. 3.10. Амплитудная частотная характеристика
апериодического звена второго порядка
Аналогично колебательному звену, фазовая частотная характеристика в интервале 0 ω 1/T рассчитывается по формуле
В интервале 1/T ω ∞ используется формула
Для апериодического звена асимптотическая логарифмическая амплитудная частотная характеристика получается такой же, как на рис. 3.9.
Переходная функция получается решением уравнения (3.7) при условии x = 1:
и начальных условиях h = 0, dh/dt = 0 при t = 0.
Характеристическое уравнение
имеет корни
.
Они действительные и отрицательные так как в силу условия апериодичности звена T0 > 2T.
Переходная функция получается в виде:
.
При t = 0 h(t) = 0. С увеличением t кривая монотонно стремится к пределу h = k.
Апериодическое звено второго порядка можно назвать типовым условно, потому что такая же математическая модель реализуется двумя инерционными звеньями, соединенными последовательно, рис. 3.11.
Рис. 3.11. Два последовательно соединенных инерционных звена
Чтобы показать это достаточно, исходя из дифференциальных уравнений звеньев А и Б, получить дифференциальное уравнение (3.7). Пусть уравнения звеньев имеют вид
А
Б
,
.
Выделим из уравнения Б переменную x1, продифференцируем по t и заменим соответствующие величины в уравнении А. Это приводит к выражению
где x, y - входная и выходная величина системы из двух инерционных звеньев. Обозначая T1T2 = T2, T1 + T2 = T0, k1k2 = k, получаем уравнение (3.7):
.
3.8. Классификация типовых звеньев
Типовые звенья классифицируется по виду передаточных функций.
1. Устойчивые звенья. Передаточные функции имеют сомножители:
k;
pn;
;
Tp
+ 1;
T2p2+1;
T2p2
+
T0p
+ 1;
2. Неустойчивые звенья. Передаточные функции имеют сомножители:
Tp
– 1;
T2p2
–
1;
T2
p2
– T0p
+1;
T2p2
+ T0p
– 1;
.
3. Запаздывающие звенья. Передаточные функции имеют сомножители:
.
4. Трансцендентное звено. Передаточная функция
.