Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции ТАУ 02.06.2008 (Для издания).doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
3.07 Mб
Скачать

3.5. Дифференцирующее звено

Сначала рассмотрим идеальное дифференцирующее звено. Дифференциальное уравнение этого звена устанавливает пропорциональность выходной величины скорости изменения входной величины:

. (3.5)

Операторное уравнение: Y(p) = kp X(p).

Передаточная функция

где k – коэффициент, имеющий размерность времени.

Комплексная частотная характеристика

.

Действительная часть U(ω) = 0, мнимая часть V(ω) = k ω.

Амплитудная частотная характеристика

.

Амплитуда растет линейно с частотой.

Фазовый угол для всех частот 90, что означает постоянное опережение по фазе при любой частоте.

Переходная функция – в ответ на единичное ступенчатое воздействие – имеет вид:

То есть, на выходе появляется единичный импульс, усиленный в k раз.

Осуществить практически идеальное дифференцирующее звено невозможно. Но реализуемы математические модели, в которых присутствует дифференцирующая составляющая dx/dt. Так, если записать в правой части инерционного звена вместо усилительного дифференцирующее воздействие, получается математическая модель, которую называют «реальное дифференцирующее звено».

(3.6)

Операторное уравнение: (Tp + 1)Y(p) = kpX(p).

Передаточная функция

.

Комплексная частотная характеристика

.

Действительная и мнимая частотные характеристики

, .

Амплитудная частотная характеристика

.

У идеального дифференцирующего звена с увеличением ω амплитуда линейно возрастает до ∞. У реального дифференцирующего звена амплитуда возрастает монотонно, стремясь к пределу k/T.

Фазовая частотная характеристика

φ(ω) = arctg .

При ω = 0, φ = 90, как у идеального дифференцирующего звена. Но мере увеличения частоты опережение по фазе уменьшается до нуля.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика

.

Найдем асимптотические прямые логарифмической амплитудной частотной характеристики. В области ω < 1 . В области ω > 1 L2 = 20 lg (k/T).

Прямая L1 пересекает ординату в точке с координатами lg ω = 0, L1 = 20 lg k, абсциссу – в точке с координатами lg ω = lg(1/k), L1 = 0. Cледует учесть, что k  1 и потому lg (1/k) – число отрицательное. Прямая L2 параллельна оси абсцисс, пересекает ординату в точке lg ω = 0, L2 = 20 lg(k/T). Прямые L1 и L2 пересекаются в точке с абсциссой lg ω = lg (1/T). График представлен на рис. 3.6.

Рис. 3.6. Асимптоты ЛАЧХ реального дифференцирующего звена

Чтобы найти переходную функцию, в операторном уравнении заменим X(p) на 1/p:

.

Таблица преобразований Лапласа указывает, что

.

Значит, переходная функция имеет вид

.

В момент t = 0 h(0) = k/T. По мере увеличения t, функция h(t) экспоненциально уменьшается до нуля. Напомним: в идеальном дифференцирующем звене переходная функция имеет вид импульса.

3.6. Колебательное звено

Математической моделью колебательного звена является линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

, (3.7)

при условии .

Колебательные процессы характеризуются двумя важными параметрами: коэффициентом затухания ξ и резонансной частотой ω0. Они выражаются через постоянные времени уравнения (3.7): ξ = Т0/2Т, ω0 = 1/Т. Если ввести ξ в уравнение (3.7), оно получает вид, более удобный для исследования колебательного процесса:

2 ξ Т + y = kx. (3.8)

Дифференциальному уравнению (3.8) соответствует операторное уравнение

(T2p2 + 2 ξ Tp + 1) Y(p) = kX(p),

из которого получается передаточная функция

.

Если выходная величина не изменяется (dy/dt = 0, p = 0) передаточная функция вырождается в коэффициент усиления: K(0) = k.

Комплексная частотная характеристика звена

.

Действительная и мнимая частотные характеристики имеют вид:

,

.

Амплитудная частотная характеристика колебательного звена

.

У колебательного звена кривая A(ω) имеет пик, вершина которого отвечает частоте ω0 = 1/T (рис. 3.7). То есть резонансной частоте. Максимальная величина амплитуды равна k / 2ξ. Пик выше, если больше коэффициент усиления и меньше коэффициент затухания.

Фазовая частотная характеристика в интервале изменения частоты от ω = 0 до ω = 1/T рассчитывается по формуле

Рис. 3.7. Зависимость амплитуды от частоты.

1 – ξ = 0,20, 2 – ξ = 0,5, 3 – ξ = 0,75

Рис. 3.8. Фазовая частотная характеристика колебательного звена.

1 – ξ = 0,2, 2 – ξ = 0,4, 3 – ξ= 0,8

Рис. 3.9. Асимптотическая ЛАЧХ в интервале 0,3 < ξ < 1

При ω = 0 φ(ω) = 0. Значению ω0 = 1/T соответствует запаздывание – 90 . С увеличением ω запаздывание увеличивается и расчет надо вести по формуле

.

Характер кривых показан на рис. 3.8.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика имеет вид:

L(ω) = 20 lg k – 10 lg (1-T2ω2)2 + 4 ξ2T2ω2.

Форма этой кривой зависит от коэффициента затухания ξ. В интервале 0,3  ξ  1 приемлемо асимптотическое представление. В области ω  1 L1 = 20 lgk. В области ω  1 L2 = 20 lg (k/T2) – 40 lg ω. Условие сопряжения прямых ω0 = 1/T, т.е. на резонансной частоте. Пересечение прямой L2 c осью абсцисс при ω = /T. Расположение асимптотических прямых показано на рис. 3.9.