2.3 Операции над машинами Тьюринга

Машина Тьюринга (МТ) — абстрактный исполнитель (абстрактная вычислительная машина).

Со­че­та­ния ал­го­рит­мов - это на­зва­ние, уста­но­вив­ше­еся за ря­дом кон­крет­ных спо­со­бов кон­стру­иро­ва­ния но­вых ал­го­рит­мов из не­ско­ль­ких за­дан­ных.

Те­оре­мы о со­че­та­ни­ях ал­го­рит­мов со­став­ля­ют важ­ный раз­дел об­щей те­ории ал­го­рит­мов. Бу­ду­чи до­ка­зан­ны­ми однаж­ды, они по­зво­ля­ют в да­ль­ней­шем убеж­да­ть­ся в осу­ще­ст­ви­мо­сти слож­ных и гро­мо­зд­ких ал­го­рит­мов без фак­ти­че­с­ко­го вы­пи­сы­ва­ния опре­де­ля­ющих их схем.

Со­че­та­ния ал­го­рит­мов для ма­ши­ны Тью­рин­га опи­сы­ва­ют­ся опе­ра­ци­ями над ма­ши­на­ми Тью­рин­га.

1. Опе­ра­ция ком­по­зи­ции.

Пусть M₁ и M₂ - ма­ши­ны Тью­рин­га, име­ющие оди­на­ко­вый вне­шний ал­фа­вит A«{a₀,a₁,...,a_p}. Обоз­на­чим мно­же­ст­ва их со­сто­яний со­от­ве­т­ст­вен­но Q1«{q₀,q₁,...,q_n} и Q2«{q_0',q_1',...,q_m'}.

 

Опре­де­ле­ние.

Ком­по­зи­ци­ей ма­шин M₁ и M₂ на­зы­ва­ют ма­ши­ну, обоз­на­ча­емую M=M₁×M₂, про­грам­ма ко­то­рой име­ет ал­фа­вит A, мно­же­ст­во со­сто­яний Q«{q₀,q₁,...,q_n,q_n+1,...,q_n+m} и по­лу­ча­ет­ся из про­грамм ма­шин M₁ и M₂ сле­ду­ющим об­ра­зом: вез­де в про­грам­ме ма­ши­ны M₁, где встре­ча­ют­ся "трой­ки" с сим­во­лом q₁ (за­клю­чи­те­ль­ное со­сто­яние ма­ши­ны M₁), он за­ме­ня­ет­ся на сим­вол q_0' (на­ча­ль­ное со­сто­яние ма­ши­ны M₂); все оста­ль­ные сим­во­лы в про­грам­мах ма­шин M₁ и M₂ оста­ют­ся не­из­мен­ны­ми (в за­вер­ше­ние оста­ёт­ся пе­ре­ну­ме­ро­вать все со­сто­яния ма­ши­ны M: {q₀,q_1',q₂,...,q_n,q_0',q_2',...,q_m'}).

 

Ком­по­зи­ция на­чи­на­ет "ра­бо­тать" как ма­ши­на M₁, но в тех слу­ча­ях, ког­да ма­ши­на M₁ до­лжна оста­но­ви­ть­ся, про­ис­хо­дит пе­ре­клю­че­ние на про­грам­му ма­ши­ны M₂, вслед­ст­вие за­ме­ны q₁ на q_0'. Оче­вид­но, что опе­ра­ция ком­по­зи­ции ас­со­ци­атив­на, но не ком­му­та­тив­на.

Её работа равносильна  последовательной работе машин  T1 и T2 .

На рисунке изображена композиция машин Тьюринга, реализующая оператор суперпозиции для n=1 и m=1.

Рисунок 1.

 

Опре­де­ле­ние.

Ите­ра­ци­ей ма­ши­ны Тью­рин­га M бу­дем на­зы­вать ма­ши­ну

2. Опе­ра­ция вет­вле­ния.

Пусть M₁, M₂ и M₃ - ма­ши­ны Тью­рин­га, име­ющие оди­на­ко­вый вне­шний ал­фа­вит A«{a₀,a₁,...,a_i,...,a_j,...,a_p} и, со­от­ве­т­ст­вен­но, мно­же­ст­ва со­сто­яний: Q1«{q₀,q₁,...,q_n}, Q2«{q_0',q_1',...,q_m'}, Q3«{q_0",q_1",...,q_l"}.

 

Опре­де­ле­ние.

Ре­зу­ль­та­том опе­ра­ции вет­вле­ния над ма­ши­на­ми Тью­рин­га M₁, M₂ и M3 на­зы­ва­ет­ся ма­ши­на Тью­рин­га M, про­грам­ма ко­то­рой по­лу­ча­ет­ся из про­грамм ма­шин M₁,M₂ и M₃ сле­ду­ющим об­ра­зом: за­пи­са­на про­грам­ма ма­ши­ны M1, за­тем при­пи­са­ны про­грам­мы ма­ши­ны M₂ и M₃. Ес­ли в за­клю­чи­те­ль­ном со­сто­янии q₁ ма­ши­ны M1 на­блю­да­ет­ся сим­вол a_i, то управ­ле­ние пе­ре­да­ет­ся на ма­ши­ну M₂, т.е. сим­вол q₁ за­ме­ня­ет­ся сим­во­лом q_0' и на­чи­на­ет ра­бо­тать ма­ши­на M₂. Ес­ли же в за­клю­чи­те­ль­ном со­сто­янии q₁ ма­ши­ны M₁ на­блю­да­ет­ся сим­вол _aj, то управ­ле­ние пе­ре­да­ет­ся на ма­ши­ну M₃, т.е. сим­вол q₁ за­ме­ня­ет­ся сим­во­лом q_0" и на­чи­на­ет ра­бо­тать ма­ши­на M₃. Все оста­ль­ные сим­во­лы в про­грам­мах ма­шин M₁ и M₂ оста­ют­ся не­из­мен­ны­ми. Ма­ши­на M за­вер­ша­ет ра­бо­ту в за­клю­чи­те­ль­ном со­сто­янии q₁ (в за­клю­че­ние оста­ет­ся осу­ще­ст­вить сквоз­ную пе­ре­ну­ме­ра­цию со­сто­яний ма­ши­ны M).

Ре­зу­ль­тат опе­ра­ции вет­вле­ния над ма­ши­на­ми Тью­рин­га M₁, M₂ и M3 обоз­на­ча­ет­ся сле­ду­ющим об­ра­зом:

Для двух­бук­вен­ных ма­шин Тью­рин­га (ма­шин Тью­рин­га с двух­бук­вен­ным ал­фа­ви­том) опе­ра­ция вет­вле­ния над про­из­во­ль­ны­ми ма­ши­на­ми Тью­рин­га M1, M2 и M3 обоз­на­ча­ет­ся сле­ду­ющим об­ра­зом:

т.е. ес­ли при ра­бо­те ма­ши­ны M1 в со­сто­янии q₁ на­блю­да­ет­ся сим­вол a₀, то управ­ле­ние пе­ре­да­ет­ся на ма­ши­ну M2, в про­тив­ном слу­чае - на ма­ши­ну M3.

3. Опе­ра­ция за­цик­ли­ва­ния.

Пусть M - ма­ши­на Тью­рин­га с ал­фа­ви­том A«{a₀,a₁,...,a_p} и мно­же­ст­вом со­сто­яний Q«{q₀,q₁,...,q_n}.

 

Опре­де­ле­ние.

Ре­зу­ль­та­том опе­ра­ции за­цик­ли­ва­ния бу­дем на­зы­вать ма­ши­ну Тью­рин­га, обоз­на­ча­емую (i=0,2,3,...,n; j=0,1,2,...,p; s=0,2,3,...,n)

про­грам­ма ко­то­рой по­лу­ча­ет­ся из про­грам­мы ма­ши­ны M за­ме­ной в кон­сек­вен­те ко­ман­ды q_ia_j®q₁a_tr, rÎ{L,R,L}, t=0,1,2,...p, сим­во­ла q₁ на сим­вол q_s.