ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

«МИНСКИЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ»

Кафедра информационных технологий и высшей математики

«К защите допускаю»

__________ А.Н. Лаврёнов

« ____ » ____________ 2013г.

КОНТРОЛИРУЕМАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Дискретная математика и математическая логика»

на тему: «АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ»

Студент группы 121001с ___________И.Г.Самойлик

Руководитель: доц. кафедры ИТи ВМ

к.ф.-м.н. ___________A.Н.Лаврёнов

Минск — 2013

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ 5

Я для наглядности переместил оглавления сюда, но не надо вам этого делать – просто исправите все в своем оглавлении и заодно во введении, а также везде где надо – 5

Введение 5

1 Интуитивное понятие алгоритма. Необходимость его уточнения 5

1.1 История развития понятия алгоритма 5

1.2 Типовые алгоритмические конструкции и их обозначения 5

1.3 Свойства алгоритма 5

1.4 Алгоритмические модели и их основные типы 5

1.4.1 Вычислительные алгоритмы 5

1.4.2 Символьные алгоритмы 5

1.4.3 Алгоритмы для исполнителей. 5

2 Машины Тьюринга (одноленточные детерминированные), функции ими вычислимые 5

2.1 Неформальное описание машины Тьюринга 5

2.2 Формальное определение машины Тьюринга 5

2.3 Операции над машинами Тьюринга 5

2.4 Пример машины Тьюринга 5

2.5 Варианты машины Тьюринга 5

2.6 Вычислимость по Тьюрингу и разрешимость 5

3 Проблема самоприменимости 5

3.1 Нумерация алгоритмов 5

3.2 Нумерация наборов чисел 5

3.3 Нумерация слов или словарные функции 5

3.4 Нумерация машин Тьюринга 5

Заключение 5

Список использованных источников 5

Контрольные вопросы 5

Тест 5

===уточню, что только заголовки первого уровня начинаются с новой страницы, остальные через одеу-две пустые строки продолжаются далее 6

1 Интуитивное понятие алгоритма. Необходимость его уточнения. 7

1.1 Свойства, характерные для интуитивного понятия алгоритма 9

1.2 История развития понятия алгоритма 13

1.3 Алгоритмические модели и их представление 14

1.4 Вычислительные алгоритмы 16

2 МАШИНЫ ТЬЮРИНГА (ОДНОЛЕНТОЧНЫЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ) 31

2.1 Неформальное описание машины Тьюринга 31

2.2 Формальное определение машины Тьюринга 34

2.3 Операции над машинами Тьюринга 36

2.4 Варианты машины Тьюринга 40

2.5 Вычислимость по Тьюрингу и разрешимость 41

3 ПРОБЛЕМА САМОПРИМЕНИМОСТИ 44

3.1. Нумерация алгоритмов 47

3.2 Нумерация наборов чисел 48

3.3 Нумерация слов и словарные функции 49

3.4 Нумерация машин Тьюринга 50

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 53

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 54

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 55

ТЕСТ 57

ВВЕДЕНИЕ

В данной контролируемой самостоятельной работе я изучаю следующие вопросы:

1. Интуитивное понятие алгоритма.

2. Алгоритмические модели и их основные типа

3. Свойства алгоритма

4. Машина Тьюринга

5. Операции и применения машины Тьюринга.

6. Вычислимость по Тьюрингу и разрешимость.

7. Проблема самоприменимости.

8. Нумерация алгоритмов, наборов чисел, слов и машин Тьюринга.

Я для наглядности переместил оглавления сюда, но не надо вам этого делать – просто исправите все в своем оглавлении и заодно во введении, а также везде где надо –

Введение

1Интуитивное понятие алгоритма. Необходимость его уточнения

1.1История развития понятия алгоритма

1.2Типовые алгоритмические конструкции и их обозначения

1.3Свойства алгоритма

1.4Алгоритмические модели и их основные типы

1.4.1Вычислительные алгоритмы

1.4.2Символьные алгоритмы

1.4.3Алгоритмы для исполнителей.

2Машины Тьюринга (одноленточные детерминированные), функции ими вычислимые

2.1Неформальное описание машины Тьюринга

2.2Формальное определение машины Тьюринга

2.3Операции над машинами Тьюринга

2.4Пример машины Тьюринга

2.5Варианты машины Тьюринга

2.6Вычислимость по Тьюрингу и разрешимость

3Проблема самоприменимости

3.1Нумерация алгоритмов

3.2Нумерация наборов чисел

3.3Нумерация слов или словарные функции

3.4Нумерация машин Тьюринга

Заключение

Список использованных источников

Контрольные вопросы

Тест

===уточню, что только заголовки первого уровня начинаются с новой страницы, остальные через одеу-две пустые строки продолжаются далее

1 ИНТУИТИВНОЕ ПОНЯТИЕ АЛГОРИТМА. НЕОБХОДИМОСТЬ ЕГО УТОЧНЕНИЯ.

Интуитивное понятие алгоритма – одно из основных понятий математики, не допускающее определения в терминах более простых понятий.

Термин «алгоритм» произошел от имени среднеазиатского математика Абу Абдаллы Мухаммеда бен Мусы аль-Маджуси ал-Хорезми (787—ок. 850), который в своих трудах дал точное описание процесса выполнения основных арифметических действий (сложения, умножения, деления) в виде последовательного применения небольшого числа простых правил. Этими правилами мы пользуемся до сих пор при сложении и умножении «столбиком». Эти правила предписывали строгую последовательность действий для получения искомого результата. Так возникло понятие "алгоритм" в честь арабского имени аль-Хорезми. Первое упоминание термина «алгоритм» как системы предписаний для механического исполнения вычислений принадлежит немецкому математику Эрнсту Шредеру (1841—1902).

Пусть задано бесконечное множество задач и указано, что понимается под решением каждой из них. Говорят, что существует алгоритм для решения данного бесконечного множества задач, если существует единый способ, позволяющий, для любой задачи этого множества, в конечное число шагов, найти ее решение.

Это не является определением, т.к. выражение «единый», «конечное число шагов» лишены математической точности.

Современная математика и вычислительная практика исходят из следующих наглядных представлений об алгоритмах как процессах обработки данных.

Алгоритм (алгорифм) есть система предписаний, определяющая выполнение некоторого процесса над конструктивными (искусственно созданными) объектами.

Алгоритм «перерабатывает» исходные (заданные) конструктивные объекты (КО) в результирующие КО.

Понятие конструктивный объект (КО) определяется через следующие его свойства:

Идентифицируемость данных. Каждый КО должен быть идентифицирован (выделен) среди других КО по имени, по координатам или по другим признакам.

Структура данных. КО может быть изначально задан (элементарный КО) либо создан из совокупности элементарных КО при помощи каких-нибудь операций и даже алгоритмическим путем.

Конечность данных. Множество элементарных КО (каждый КО в единственном экземпляре) всегда конечно. Такое множество называют алфавитом. Из элементов алфавита может быть образовано бесконечное множество сложных КО.

Алгоритмический процесс расчленяется на отдельные шаги: каждый шаг состоит в непосредственном преобразовании возникшего к этому шагу состояния в другое последующее состояние. Состояния описываются в виде выбранных КО. Преобразование текущего состояния в последующее производится одной операций из конечного списка операций, специально придуманных для выбранных КО.

Процессор — «кто/что обрабатывает» выполняет действия (операции) по преобразованию состояний, записи и хранению информации о состояниях в специальной памяти. Действия (операции) выполняются по командам, или предписаниям процессору, для чего определяется некоторая дисциплина (порядок) выбора предписаний. Запись предписаний на каком-либо языке и соглашение по порядку их выполнения представляетконкретный алгоритм. Степень формализации языка предписаний может быть различной.

Не всякий процесс преобразования одного состояния в другое можно назвать алгоритмом. Например, физический процесс преобразования потенциальной энергии падающей воды в электрическую не принято называть алгоритмом. При математическом моделировании мы имеем дело с преобразованием не физических величин, а искусственно созданных КО, в частности, чисел. Процесс преобразования обязательно должен определяться алгоритмом.

Алгоритм - это заданное на некотором языке конечное предписание, задающее конечную последовательность выполнимых элементарных операций для решения задачи, общее для класса возможных исходных данных.

Варианты словесного определения алгоритма принадлежат российским ученым А.Н. Колмогорову и А.А. Маркову:

– алгоритм – это всякая система вычислений, выполняемых по строго определенным правилам, которая после какого-либо числа шагов заведомо приводит к решению поставленной задачи;

– алгоритм – это точное предписание, определяющее вычислительный процесс, идущий от варьируемых исходных данных к искомому результату.

Алгоритм — набор инструкций, описывающих порядок действий исполнителя для достижения результата решения задачи за конечное число действий. В старой трактовке вместо слова «порядок» использовалось слово «последовательность», но по мере развития параллельности в работе компьютеров слово «последовательность» стали заменять более общим словом «порядок». Это связано с тем, что работа каких-то инструкций алгоритма может быть зависима от других инструкций или результатов их работы

Другие формальные определения понятия алгоритма связаны с введением специальных математических конструкций (машина Поста, машина Тьюринга, рекурсивно-вычислимые функции Черча) и постулированием тезиса об эквивалентности такого формализма и понятия «алгоритм».

Примеры алгоритмов:

Алгоритмы арифметических действий с числами в двоичной системе счисления;

Алгоритм нахождения НОД (наибольший общий делитель) 2-х целых чисел, 2-х многочленов от переменной х;

Алгоритм извлечения квадратного корня N;

Алгоритм дифференцирования многочлена от переменной;

Алгоритм нахождения определителя квадратной матрицы А;