
- •Пояснительная записка к курсовому проекту по курсу: «Математические основы теории систем»
- •Задание №1 Модели в пространстве состояний
- •2. Запишем столбцовую присоединенную каноническую форму.
- •3. Запишем строчную присоединенную каноническую форму.
- •4. Имитация модели с помощью модального регулятора:
- •5. Формируем систему с желаемым характеристическим полиномом.
- •Задание №2. Линейное программирование
- •2. Построить задачу, двойственную к исходной, решить её и сравнить решения прямой и двойственной задач.
- •3. Т.К. Решение задачи не является целочисленным, получим целочисленное решение путём введения дополнительных ограничений по методу Гомори.
- •Задание №3 Нелинейное программирование
- •3. Найти максимальное значение функции f(X) с учётом системы ограничений задачи, используя:
- •Приложение №1
3. Найти максимальное значение функции f(X) с учётом системы ограничений задачи, используя:
а) условия теоремы Куна-Таккера.
Составляем функцию Лагранжа:
L(x,λ)= F(x)+λTg(x)=F(x)+∑λj∙gj(x).
Здесь gj(x) – левые части ограничений, приведённых к нулевой правой части;
λj - неопределённые множители Лагранжа:
g1(x)=-5x1+3x2
0;
g2(x)=-x2+5 ;
Точка экстремума является седловой точкой с максимумом по x и минимумом по λ, поэтому ограничения приведены к виду gj (x) 0:
L(x,λ)= = -4x12-5x22+5x1x2+x1+3x2 +λ1(-5x1+3x2)+λ2(-x2+5) .
Условия теоремы Куна – Таккера записываем следующим образом:
Частные производные функции Лагранжа определяются выражениями:
=-8x1+5x2+1-5λ1
;
=5x1-10x2+3+3λ1-λ2
;
=-5x1+3x2
;
=-x2+5
;
Для приведения неравенств к виду равенств вводятся дополнительные неотрицательные переменные v и w. Одновременно свободные члены переносятся в правую часть, тогда:
-8x1+5x2-5λ1+v1=-1;
5x1-10x2+3λ1-λ2+v2=-3;
-5x1+3x2-w1=0;
-x2-w2=-5.
Решение этой системы из четырёх алгебраических уравнений, содержащих восемь неизвестных, можно найти с помощью симплекс – процедуры. На первом шаге в базис включаются все введённые дополнительные
переменные. Строка для функции цели отсутствует. Процедура решения иллюстрируется симплекс – таблицами.
Б |
СЧ |
НП |
|||
x1 |
x2 |
|
|
||
v1 |
-1 |
-8 |
5 |
-5 |
0 |
v 2 |
-3 |
5 |
-10 |
3 |
-1 |
w1 |
0 |
5 |
-3 |
0 |
0 |
w2 |
5 |
0 |
1 |
0 |
0 |
БП |
СЧ |
НП |
|||
x1 |
v2 |
|
|
||
v 1 |
-25/10 |
-55/10 |
1/2 |
-35/10 |
-1/2 |
x2 |
3/10 |
-1/2 |
-1/10 |
-3/10 |
1/10 |
w1 |
9/10 |
35/10 |
-3/10 |
-9/10 |
3/10 |
w2 |
47/10 |
1/2 |
1/10 |
1/2 |
-1/10 |
БП |
СЧ |
НП |
|||
v1 |
v2 |
|
|
||
x1 |
5/11 |
-2/11 |
-1/11 |
7/11 |
1/11 |
x2 |
29/55 |
-1/11 |
-8/55 |
1/55 |
8/55 |
w 1 |
-38/55 |
7/11 |
1/55 |
-172/55 |
-1/55 |
w2 |
246/55 |
1/11 |
8/55 |
-1/55 |
-8/55 |
БП |
СЧ |
НП |
|||
v1 |
v2 |
w1 |
|
||
x1 |
594/1892 |
-99/1982 |
-165/1892 |
35/172 |
165/1892 |
x2 |
495/946 |
-165/1892 |
-8/55 |
1/172 |
8/55 |
|
38/172 |
-35/172 |
-1/172 |
-55/172 |
1/172 |
w2 |
4235/946 |
165/1892 |
8/55 |
-1/172 |
-8/55 |
Решение соответствует допустимому базисному решению: x1=0,31; x2=0,52; =0,22; w2=4,48; v1, x2, , =0.
Кроме того, выполняется условие:
x1 v1= x2v2=0;
λ1 w1=λ2w2=0.
Поэтому x1*=0,31; x2*=0,52 является оптимальным решением задачи: Fmax=0,946.
б) метод допустимых направлений Зойтендейка.
Находим направление вектора градиента в точке x0:
F(x0)=[8;-22].
Тогда координаты очередной точки (смотреть метод наискорейшего спуска):
;
Определяем интервал допустимых значений для параметра , при котором точка x1 будет принадлежать ОДЗП. Для этого координаты точки x1 подставляются в ограничения задачи:
Выбираем наиболее сильные из полученных условий:
.
Находим
величину
,
которая обеспечит максимум функции
F(x).
Процедура полностью совпадает с первым
шагом решения задачи методом наискорейшего
спуска, поэтому
Но это точка не попадает на интервал.
Берём
=1+8 =1+8∙0,0377=1,302;
=3-22 =3-22∙0,0377=2,171.
Вычисляем составляющие вектора градиента в точке x1:
F(x1) = [1,44; -12,2].
Движение
в направлении
выходит за пределы ОДЗП, поэтому очередная
точка поиска вычисляется по выражению:
,
где
– новое направление, которое составляет
минимальный острый угол с вектором
градиента и направлено по границе ОДЗП.
При этом следующая точка должна
принадлежать ОДЗП, а функция цели
увеличивается максимальным образом.
Направление находим как решение задачи:
Направление
очередного шага определяем из условия:
,
где
-
вектор коэффициентов при переменных в
первом ограничении, на котором находится
точка
.
Отсюда следует, что
.
Тогда из
находим
.
.
Координаты точки x2 определяются как:
.
Находим интервал изменения , при котором x2 принадлежит ОДЗП (первое ограничение опускаем):
Выбираем наиболее сильные из полученных условий:
Первое ограничение опущено, т.к. точка x1 принадлежит соответствующей прямой.
Находим , которое обеспечит максимум функции в направлении .
.
.
Значение принадлежит найденному интервалу.
Вычисляем координаты точки x2:
Вычисляем составляющие вектора градиента в точке x2:
F(x2) = [1,14; 0,8].
Направление вектора F(x2) перпендикулярно направлению s1, следовательно, найденная точка x2[0,32; 0,54] обеспечивает максимум функции F(x) с учётом ограничений на переменные: Fmax = 0,93.
Графическая интерпретация к методу допустимых направлений Зойтендейка дана в приложении №1, рисунок 3.
в) метод линейных комбинаций.
Суть метода линейных комбинаций заключается в линеаризации функции F(x) и замене её линейной функцией w(x) в соответствии с выражением:
w(x)= F(x)T∙x
Находим направление вектора градиента в точке x0; F(x0)=[8;-22], в соответствии с этим:
w(x0)=[8;
-22]
=
8x1
-
22x2
;
Решаем задачу линейного программирования w(x0)= 8x1-22x2 (max) при ограничениях:
БП |
Свободные члены |
x1 |
x2 |
x 3 |
0 |
5 |
-3 |
x4 |
5 |
0 |
1 |
w |
0 |
-8 |
22 |
БП |
Свободные члены |
x3 |
x2 |
x1 |
0 |
1/5 |
-3/5 |
x4 |
5 |
0 |
1 |
w |
0 |
8/5 |
86/5 |
В результате получаем одну из вершин ОДЗП x0*=[0;0]. Это оптимальное решение линеаризованной задачи.
Произведём корректировку найденного решения в соответствии с выражением:
x1=x0+ (x0*- x0);
Находим
значение
которое максимизирует F(x1):
F(
)
=
;
;
=0,853.
= 1 - = 0,147;
= 3 - 3 = 0,441.
Осуществляем линеаризацию относительно найденной точки x1.
F(x1)=[2,029; 0,53].
Решаем задачу линейного программирования w(x1)= 2,029x1+0,53x2 (max) при ограничениях:
БП |
Свободные члены |
x 1 |
x2 |
x 3 |
0 |
5 |
-3 |
x4 |
5 |
0 |
1 |
w |
0 |
-2,029 |
-0,53 |
БП |
Свободные члены |
x3 |
x2 |
x1 |
0 |
1/5 |
-3/5 |
x 4 |
5 |
0 |
1 |
w |
0 |
2/5 |
-1,74 |
БП |
Свободные члены |
x3 |
x4 |
x1 |
3 |
1/5 |
3/5 |
x2 |
5 |
0 |
1 |
w |
0 |
2/5 |
1,74 |
В результате получаем одну из вершин ОДЗП x1*=[3; 5]. Это оптимальное решение линеаризованной задачи.
Произведём корректировку найденного решения в соответствии с выражением:
x2=x1+ (x1*- x1);
Находим
значение
которое максимизирует F(x2):
F(
)
=
;
;
=0,019.
=
=0,3;
=
=0,53.
В
результате получаем:
Графическая интерпретация к методу линейных комбинаций дана в приложении №1, рисунок 4.