Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Курсач МОТС Жук.docx
Скачиваний:
1
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
368.2 Кб
Скачать

3. Найти максимальное значение функции f(X) с учётом системы ограничений задачи, используя:

а) условия теоремы Куна-Таккера.

Составляем функцию Лагранжа:

L(x,λ)= F(x)+λTg(x)=F(x)+∑λj∙gj(x).

Здесь gj(x) – левые части ограничений, приведённых к нулевой правой части;

λj - неопределённые множители Лагранжа:

g1(x)=-5x1+3x2 0;

g2(x)=-x2+5 ;

Точка экстремума является седловой точкой с максимумом по x и минимумом по λ, поэтому ограничения приведены к виду gj (x) 0:

L(x,λ)= = -4x12-5x22+5x1x2+x1+3x2 1(-5x1+3x2)+λ2(-x2+5) .

Условия теоремы Куна – Таккера записываем следующим образом:

Частные производные функции Лагранжа определяются выражениями:

=-8x1+5x2+1-5λ1 ;

=5x1-10x2+3+3λ12 ;

=-5x1+3x2 ;

=-x2+5 ;

Для приведения неравенств к виду равенств вводятся дополнительные неотрицательные переменные v и w. Одновременно свободные члены переносятся в правую часть, тогда:

-8x1+5x2-5λ1+v1=-1;

5x1-10x2+3λ12+v2=-3;

-5x1+3x2-w1=0;

-x2-w2=-5.

Решение этой системы из четырёх алгебраических уравнений, содержащих восемь неизвестных, можно найти с помощью симплекс – процедуры. На первом шаге в базис включаются все введённые дополнительные

переменные. Строка для функции цели отсутствует. Процедура решения иллюстрируется симплекс – таблицами.

Б П

СЧ

НП

x1

x2

v1

-1

-8

5

-5

0

v 2

-3

5

-10

3

-1

w1

0

5

-3

0

0

w2

5

0

1

0

0

БП

СЧ

НП

x1

v2

v 1

-25/10

-55/10

1/2

-35/10

-1/2

x2

3/10

-1/2

-1/10

-3/10

1/10

w1

9/10

35/10

-3/10

-9/10

3/10

w2

47/10

1/2

1/10

1/2

-1/10

БП

СЧ

НП

v1

v2

x1

5/11

-2/11

-1/11

7/11

1/11

x2

29/55

-1/11

-8/55

1/55

8/55

w 1

-38/55

7/11

1/55

-172/55

-1/55

w2

246/55

1/11

8/55

-1/55

-8/55

БП

СЧ

НП

v1

v2

w1

x1

594/1892

-99/1982

-165/1892

35/172

165/1892

x2

495/946

-165/1892

-8/55

1/172

8/55

38/172

-35/172

-1/172

-55/172

1/172

w2

4235/946

165/1892

8/55

-1/172

-8/55

Решение соответствует допустимому базисному решению: x1=0,31; x2=0,52; =0,22; w2=4,48; v1, x2, , =0.

Кроме того, выполняется условие:

x1 v1= x2v2=0;

λ1 w12w2=0.

Поэтому x1*=0,31; x2*=0,52 является оптимальным решением задачи: Fmax=0,946.

б) метод допустимых направлений Зойтендейка.

Находим направление вектора градиента в точке x0:

F(x0)=[8;-22].

Тогда координаты очередной точки (смотреть метод наискорейшего спуска):

;

Определяем интервал допустимых значений для параметра , при котором точка x1 будет принадлежать ОДЗП. Для этого координаты точки x1 подставляются в ограничения задачи:

Выбираем наиболее сильные из полученных условий:

.

Находим величину , которая обеспечит максимум функции F(x). Процедура полностью совпадает с первым шагом решения задачи методом наискорейшего спуска, поэтому Но это точка не попадает на интервал. Берём

=1+8 =1+8∙0,0377=1,302;

=3-22 =3-22∙0,0377=2,171.

Вычисляем составляющие вектора градиента в точке x1:

F(x1) = [1,44; -12,2].

Движение в направлении выходит за пределы ОДЗП, поэтому очередная точка поиска вычисляется по выражению: , где – новое направление, которое составляет минимальный острый угол с вектором градиента и направлено по границе ОДЗП. При этом следующая точка должна принадлежать ОДЗП, а функция цели увеличивается максимальным образом.

Направление находим как решение задачи:

Направление очередного шага определяем из условия:

,

где - вектор коэффициентов при переменных в первом ограничении, на котором находится точка . Отсюда следует, что . Тогда из находим .

.

Координаты точки x2 определяются как:

.

Находим интервал изменения , при котором x2 принадлежит ОДЗП (первое ограничение опускаем):

Выбираем наиболее сильные из полученных условий:

Первое ограничение опущено, т.к. точка x1 принадлежит соответствующей прямой.

Находим , которое обеспечит максимум функции в направлении .

.

.

Значение принадлежит найденному интервалу.

Вычисляем координаты точки x2:

Вычисляем составляющие вектора градиента в точке x2:

F(x2) = [1,14; 0,8].

Направление вектора F(x2) перпендикулярно направлению s1, следовательно, найденная точка x2[0,32; 0,54] обеспечивает максимум функции F(x) с учётом ограничений на переменные: Fmax = 0,93.

Графическая интерпретация к методу допустимых направлений Зойтендейка дана в приложении №1, рисунок 3.

в) метод линейных комбинаций.

Суть метода линейных комбинаций заключается в линеаризации функции F(x) и замене её линейной функцией w(x) в соответствии с выражением:

w(x)= F(x)T∙x

Находим направление вектора градиента в точке x0; F(x0)=[8;-22], в соответствии с этим:

w(x0)=[8; -22] = 8x1 - 22x2 ;

Решаем задачу линейного программирования w(x0)= 8x1-22x2 (max) при ограничениях:

БП

Свободные члены

x1

x2

x 3

0

5

-3

x4

5

0

1

w

0

-8

22

БП

Свободные члены

x3

x2

x1

0

1/5

-3/5

x4

5

0

1

w

0

8/5

86/5

В результате получаем одну из вершин ОДЗП x0*=[0;0]. Это оптимальное решение линеаризованной задачи.

Произведём корректировку найденного решения в соответствии с выражением:

x1=x0+ (x0*- x0);

Находим значение которое максимизирует F(x1):

F( ) = ;

;

=0,853.

= 1 - = 0,147;

= 3 - 3 = 0,441.

Осуществляем линеаризацию относительно найденной точки x1.

F(x1)=[2,029; 0,53].

Решаем задачу линейного программирования w(x1)= 2,029x1+0,53x2 (max) при ограничениях:

БП

Свободные члены

x 1

x2

x 3

0

5

-3

x4

5

0

1

w

0

-2,029

-0,53

БП

Свободные члены

x3

x2

x1

0

1/5

-3/5

x 4

5

0

1

w

0

2/5

-1,74

БП

Свободные члены

x3

x4

x1

3

1/5

3/5

x2

5

0

1

w

0

2/5

1,74

В результате получаем одну из вершин ОДЗП x1*=[3; 5]. Это оптимальное решение линеаризованной задачи.

Произведём корректировку найденного решения в соответствии с выражением:

x2=x1+ (x1*- x1);

Находим значение которое максимизирует F(x2):

F( ) = ;

;

=0,019.

= =0,3;

= =0,53.

В результате получаем:

Графическая интерпретация к методу линейных комбинаций дана в приложении №1, рисунок 4.