2. Построить задачу, двойственную к исходной, решить её и сравнить решения прямой и двойственной задач.

Найти минимальное значение функции:

F(x)=5x₁+3x₂-3x₄ (min)

Ограничения имеют вид:

;

;

Приводим неравенства задачи к виду умножая третье и четвёртое ограничения на (-1):

; y₁

y₂

; y₃

y₄

A= ; B= ; C^T=[5 3 0 -3].

Запишем выражение для двойственной функции:

max{F(y)=B^Ty │ A^T C, y }.

F(y) =B^T y=[-18 18 3 0]*

A^T= ; C= .

Тогда двойственная задача примет вид:

0;

;

_{y2, y3, y4} .

Решаем обратную задачу так же, как и прямую, вводя дополнительные переменные y₅,y₆,y₇,y₈, c помощью симплекс метода.

0;

;

_{y2, y3, y4} .

БП	Свободные Члены	Небазисные переменные
y5	5	3	-3	0	4
y6	3	-2	5	4	-4
y7	0	-2	4	0	5
y 8	-3	-5	0	-3	-5
F	0	18	-18	-3	0

Решение не является допустимым, т.к. в столбце свободных членов имеется отрицательный элемент.

Выбираем ведущий столбец и строку в соответствии с алгоритмом решения. В результате введём в базис, а переменную исключим из него.

БП	Свободные Члены	Небазисные переменные
y5	16/5	3/5	-3	-9/5	1
y6	21/5	-2/5	5	26/5	-2
y 7	6/5	-2/5	4	6/5	7
y1	3/5	-1/5	0	3/5	1
F	-54/5	18/5	-18	-69/5	-18

Решение является допустимым, но не оптимальным, т.к. в F-строке имеются отрицательные элементы.

Выбираем ведущий столбец и строку в соответствии с алгоритмом решения. В результате введём в базис, а переменную исключим из него.

БП	Свободные Члены	Небазисные переменные
y5	41/10	3/10	¾	-9/10	25/4
y 6	27/10	1/10	-5/4	37/10	-43/4
y2	3/10	-1/10	¼	3/10	7/4
y1	3/5	-1/5	0	3/5	1
F	-27/5	9/5	9/2	-42/5	27/2

Решение является допустимым, но не оптимальным, т.к. в F-строке имеются отрицательные элементы.

Выбираем ведущий столбец и строку в соответствии с алгоритмом решения. В результате введём в базис, а переменную исключим из него.

БП	Свободные Члены	Небазисные переменные
y5	176/37	12/37	33/74	9/37	269/74
y3	27/37	1/37	-25/74	10/37	-215/74
y 2	3/37	-4/37	13/37	-3/37	97/37
y1	6/37	-8/37	15/74	-6/37	203/74
F	27/37	75/37	123/74	84/37	-807/74

Решение является допустимым, но не оптимальным, т.к. в F-строке имеются отрицательные элементы.

Выбираем ведущий столбец и строку в соответствии с алгоритмом решения. В результате введём в базис, а переменную исключим из него.

БП	Свободные Члены	Небазисные переменные
y5	176/37	46/97	-4/97	69/194	-269/194
y3	159/194	-9/97	5/97	-15/194	215/194
y4	3/97	-4/97	13/97	-3/97	37/97
y1	15/194	-10/97	-16/97	-15/194	-203/194
F	207/194	153/97	303/97	375/194	807/194

Получено оптимальное решение.

На y₁ ограничение не накладывается.

У становим соответствия между переменными прямой и двойственной задач:

x₁ x₂ x₃ x₄ R x₅ x₆ x₇

y₅ y₆ y₇ y₈ y₁ y₂ y₃ y₄

F_min (x ) = F_max (y)=1,07=1,07; y₁=0,077; y₃=0,82; y₄=0,031; y_2,6,7,8=0.