1)При изучении систем автоматического управления рассматриваются динамические и статическиестатические режимы. При изучении динамических (неустановившихся ) режимов математическим аппаратом является аппарат дифференциальных уравнений.

Уравнения которые кроме неизвестной функций одной или нескольких переменных содержат также производные от этой функции, называются дифференциальными уравнениями.

«Обыкновенные,которые кроме неизвестной функции одной или несколько переменных содержат производные от этой функции»?? .

Если неизвестные функции зависят от одного переменного, диф-е. ур-я называются обыкновенными, в противном случае уравнениями в частных производных.

2) Определение канонической системы диф-х ур-й

Системой диф ур-й называется

Эту систему можно выразить относительно старшей производной

Такая система называется канонической

Каноническая – если система решена относительно старшей производной

3) Совокупность функций: x₁(t),…,x_n(t) (1)

определенных и дифференцируемых на интервале (а, b), называется решением системы (2.1) на интервале (a ,b), если они обращают уравнения (2.1) в тождества, справедливые при всех значениях t из интервала (a,b). Графической интерпретацией полученного решения будет поверхность в (n+1) -мерном пространстве (t, x₁(t),…,x_n(t)), называемая интегральной.

Задача нахождения решения x₁(t),…,x_n(t), удовлетворяющего начальным условиям x₁₀(t),…,x_n0(t) при t=t₀ называется задачей Коши.

Решение (2.2), в каждой точке которого имеет место существование и единственность решения задачи Коши, называется частным решением.

5) Статическая характеристика элементов АСР- зависимость выходного сигнала элемента от входного сигнала в установившемся состоянии.

По статич-ой харак-ке: - можно судить о линейности элемента

-по величине входа найти значение выхода

-вычислить коэффициент передачи элемента

8) В большинстве случаев поведения элементов описываются нелинейными уравнениями. Для упрощения их решения нелинейные уравнения приближенно заменяют линейными. Такая операция называется линеаризацией.

Математически этот процесс можно описать разложением функции в ряд Тейлора в окрестности точки равновесия и отображением всех членов, содержащих отклонение входной величины, в степени выше первой:

9.Составить дифференциальное уравнение бака со свободным сливом и провести его линеаризацию:

Q₁,Q₂- объемные расходы на притоке и стоке бака;h-высота уровня воды;s-площадь зеркала воды.

Решение:

Из условия материального баланса следует:

S*∆h=(Q₁(t)-Q₂(t))*∆t ₍₁₎

Преобразуем(1):

∆h/∆t=1/s(Q₁(t)-Q₂(t))₍₂₎

Устремив ∆t→0,получаем дифференциальное уравнение, описывающие состояние объекта управления:

dh/dt=1/s(Q₁(t)-Q₂(t))₍₃₎

ПустьQ₁-const

Q₂(t)=α√h ₍₄₎

α-коэффициент расхода

Тогда(3) преобразуется:

dh/dt=1/s(Q₁(t)-α√h) ₍₅₎

Уравнение (5) нелинейное дифференциальное уравнение, т.к. неизвестная h входит под знак корня.

Проведем его линеаризацию. Пусть отклонение уровня от равновесного состояния мало:

∆h=h-h₀

Разложим в ряд Тейлора нелинейного функцию и ограничимся первыми двумя членами ряда:

√h=√h₀+1/2√h₀*∆h+…. ₍₆₎

С учетом (4) выражение (6) преобразуется

√h=√h₀+1/2√h₀*∆h+…=Q₀₂/α+1/2√h₀*∆h ₍₇₎

Q₀₂-расход на стоке когда уровень h₀

Тогда уравнение (5) преобразуется:

d∆h/dt=1/s(Q₁(t)-Q₀₂/α*α-α/2√h₀*∆h)

d∆h/dt+α/2s√h₀*∆h=1/s(Q₁-Q₀₂)

т.е после операции линеаризации мы получили линейное дифференциальное уравнение.

13. Метод Эйлера для решения однородной системы дифф. Ур-ий.

Согласно методу Эйлера общее решение системы (1) ищется в виде

X=h*e^λ*1 (1)

Где h – вектор – столбец произвольных постоянных (причем, хотя бы один из его элементов должен

λ – число

Значение h и λ необходимо определить в процессе расчета

1. Подставляем решение (1) в систему дифференциального уравнения

dx/dt= A*x

Для этого продифференцируем (1):

d/dt * (h*e^λt)

после подстановки имеем:

λ*h*e^λt=A*h*e^λt

и сокращая на e^λt (не равное нулю) =>

λ*h=A*h

2. Выносим за скобки вектор h, предварительно перенеся все члены в левую часть равенства.

Для вынесения за скобки вектор λh необходимо умножить на Е.

После подстановки решения (1) в систему дифференциальных уравнений получаем:

(λ*E-A)*h=0 (2)

3. Чтобы алгебраическая система (2) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно чтобы ее определитель равнялся нулю, (см. решение однородных алгебраических систем) то есть Х являлась корнем уравнения.

det(λ*E-A)=0 (3)

Рассчитывая определитель, получаем уравнение, которое называется характеристическим уравнением:

∆(λ)=λⁿ+b₁*λ^n-1+…+b_n-1*λ+b_n=0 (4)

Корни, полученные при решении уравнения (4) называются характеристическими числами системы, собственным значением матрицы А.

Вектор h называется собственным вектором матрицы А, соответствующего должному λ.

При решении характеристического уравнения (4) возможны случаи получения корней

1. Корни вещественные и различные.

2. Корни вещественные кратные.

3. Корни комплексные.

Порядок решения системы дифференциальных уравнений (хз надо или нет)

1. Записываем матрицу коэффициентов системы дифференциальных уравнений.

2. Составляем характеристическое уравнение системы.

det(A-λ*E)=0

3. Находим характеристические числа системы (корни характеристического уравнения)

4. В зависимости от вида корней ищем решения системы.