1.Логистический рост
Рассмотрим
более общий случай по сравнению с п.1.
Пусть
– убывающая функция
,
т.к. с увеличением выпуска рынок насыщается
и цена будет падать.
В результате рассуждений аналогичных п.1 получим уравнение
,
(5)
где
.
Уравнение (5) автономное ДУ. Поскольку
,
то
возрастающая функция .
Автономными ДУ называются ур-я, в которые явно не входит независимая переменная время :
.
(6)
Это означает неизмен ность законов, по которым развивается экономическая система в рассматриваемый промежуток времени. Такие уравнения часто встречаются в различных вопросах экономической динамики.
Если
корень уравнения
,
то
является
решением уравнения (6). Такое решение
называется стационарным.
Возьмем,
например,
.
Тогда уравнение (6) принимает вид:
(7)
Из
(7) следует, что
,
если у=0 или
, а также
,
а
,
т.е направление выпуклости
такое,
как на рис.1.
Рис.1
Разделяя переменные в (7) получим
.
.
Разрешая последнее уравнение относительно
,
получим
.
(8)
График функции (8) называется логистической кривой. Она также описывает некоторые модели распространения информации (рекламы), динамику эпидемий, процессы размножения бактерий в ограниченной среде обитания и т.д.
Из
графика логистической кривой (рис.3)
видно, что при малых
логистический рост схож с естественным
ростом, однако при больших
характер рота меняется, темпы роста
замедляются, и кривая асимптотически
приближается к прямой
,
которая является стационарным решением
уравнения (7) и соответсвует случаю
.
Рис.2
|
Рис.3 |
