2.Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.
Таку назву мають рівняння вигляду:
.
(5)
Припустимо,
що
.
Тоді рівняння (3) після множення обох
частин (3) на
можна
записати у еквівалентній диференціальній формі, у якої змінні відокремлені:
.
Нехай
-
первісна функції
,
а
-
первісна функції
.
Тоді з останнього рівняння маємо, що
і, отже,
.
Щоб знайти розв’язок явно, з останнього співвідношення, слід знайти як функцію .
.
Приклад 4.
Розв’язати задачу Коші
.
Розв’язання.
Це рівняння є рівнянням з відокремлюваними
змінними. Припустимо, що
і
відокремим змінні:
.
Проінтегруємо
отриману формулу:
Розв’язуємо
задачу Коші:
.
.
При
відокремлюванні змінних (при діленні
на
)
був втраченим розв’язкок
.
Він отримується з попереднього розв’язку
при
.
Отже, будь який розв’язок
розглянутого рівняння дає формула
,
де С – довільна стала. У подальшому ми
для простоти будемо вважати
та не досліджувати випадок .
.
Приклад 5. Розв’язати задачу Коші для ДР
а)
б)
в)
г)
.
Розв’язання.
а)
Відокремлюємо змінні та інтегруємо
(*)
Саме
в цьому місці розв’язку застосовуємо
початкову умову
. В вираз (*) замість
підставляємо 0. а замість
підставляємо
1. Одержимо
.
Підставляємо в (*)
. Підносимо
обидві частини останньої рівності у
степень
.
б)
Розв’язання.
Буде застосована формула
заміни змінної
4.
.
Відокремлюємо
змінні та інтегруємо
.
Застосуємо
початкову умову і знайдемо
.
,
.
в)
Розв’язання.
Відокремлюємо змінні та інтегруємо
Застосуємо початкову умову і знайдемо .
,
.
u)
Розв’язання.
Відокремлюємо змінні та інтегруємо
,
.
Застосуємо початкову умову і знайдемо
,
.
3. Лінійне диференціальне рівняння першого порядку (лдр)
ДР.
називається лінійним,
якщо невідома функція
та її похідна
входять в нього лінійно
(тобто в першому
степені):
Якщо
,
то рівняння називається
лінійним
однорідним,
а якщо
,
то лінійним неоднорідним.
Розв’язок лінійного рівняння відшукують у вигляді добутку двох невідомих функцій
Якщо підставити останні вирази в рівняння (1)
та
підібрати невідому функцію
так,
щоб квадратна дужка обернулась на нуль,
то розв’язок ЛДР
зводиться до
розв’язку системи двох
ДР з відокремлюваними змінними:
(2)
Приклад 6. Розв’язати задачу Коші для ЛДР
Розв’язання.
Приймаємо
1. Приходимо за формулою (2) до системи двох ДР
,
(
)
де
перше рівняння таке ж як початкове, але
однорідне та відносно функції
.
2.Розв’язок однорідного вівняння:
.
Інтегруємо
.
Обираємо частинний розв’язок при С=0:
.
3.
Підставляємо знайдену функцію
в ліву частину 2-го рівняння системи (
)
та знаходимо функцію
:
,
,
.
Інтегруємо
4.Підставляємо
знайдені у п.п.3,4 функціЇ
,
у вираз
та одержуємо
загальний
розв’язок ЛДР
5. Розв’язуємо задачу Коші: ( застосуємо початкову умову і знайдемо конкретне значення сталої С)::
,
.
Приклад 7. Знайти розв’язок задачі Коші.
Розв’язання.
Приймаємо
1. Приходимо за формулою (2) до системи двох ДР
.
2. Розв’язуємо однорідне рівняння:
3.
Підставляємо
в ліву частину 2-го рівняння системи (
)
та знаходимо функцію
:
4.
Підставляємо знайдені у п.п.3,4 функціЇ
,
у вираз
та одержуємо загальний розв’язок ЛДР
5. Розв’язуємо задачу Коші: ( застосуємо початкову умову і знайдемо конкретне значення сталої С)::
,
.
Приклад 8. Знайти розв’язок задачі Коші.
Розв’язання. Приймаємо
1. Приходимо за формулою (2) до системи двох ДР
.
2. Розв’язуємо однорідне рівняння:
3.
Підставляємо
в ліву частину 2-го рівняння системи (
)
та знаходимо функцію
:
4.
Підставляємо знайдені у п.п.3,4 функціЇ
,
у вираз
та одержуємо загальний розв’язок ЛДР
5. Розв’язуємо задачу Коші: ( застосуємо початкову умову і знайдемо конкретне значення сталої С)::
,
.
Приклад 9. Знайти розв’язок задачі Коші.
Розв’язання. Приймаємо
1. Приходимо за формулою (2) до системи двох ДР
.
2. Розв’язуємо однорідне рівняння:
3.
Підставляємо
в ліву частину 2-го рівняння системи (
)
та знаходимо функцію
:
=
4.
Підставляємо знайдені у п.п.3,4 функціЇ
,
у вираз
та одержуємо загальний розв’язок ЛДР
5. Розв’язуємо задачу Коші: ( застосуємо початкову умову і знайдемо конкретне значення сталої С)::
,
.