12.Диференціальні рівняння

1.Основні поняття.Диференціальні рівняння першого порядку

Диференціальні рівняння (ДР) застосовують для розв’язання різних задач математики, природознавства, техніки, економіки.

Означення 1. Рівняння, яке пов’язує незалежну змінну з невідомою функцією та її похідними різних порядків, називається диференціальним рівнянням.

Приклад 1. а) ; б) ; в) .

Означення 2. Найвищий порядок похідної, яка входить в рівняння, називається порядком ДР.

Рівняння з прикладу 1 а) –1-го порядку; б)– 3-го; в) –2-го.

Загальний вигляд ДР 1-го порядку

.

Якщо його можна розв’язати відносно , то вигляд ДР

(1)

називається нормальною формоюі ДР першого порядку . Припускається, що - відома функція, яка задана на деякій множині площини .

Означення 3. Розв’язком (частинним розв’язком) ДР (1) називається будь-яка функція , яка при підстановці її в це рівняння обертає його на тотожність відносно .Рівняння , яке визначає цей розв’язок як неявну функцію називається інтегралом (частинним інтегралом) ДР (1). Графік розв’язку називається інтегральною кривою.

Приклад 2. а) Розв’язком ДР

(2)

є функція , де С – довільна стала, оскільки після підстановки цього та в рівняння (2) одержимо тотожність

.

б)Розв’язком ДР

(3)

є функція , де – довільні сталі, оскільки , та після підстановки цього в рівняння (3) одержимо тотожність .

Розв’язок (інтеграл) ДР, який залежить від довільних сталих, називається загальним розв’язком (інтегралом) ДР. Функції , є відповідно загальними розв’язками ДР (2), (3).

Розв’язок (інтеграл) ДР, який відповідає конкретним значенням довільних сталих, називається частинним розв’язком (інтегралом) ДР.

Означення 4. Розв’язок ДР.(1) задовольняє початковій умові , якщо

,

– задані числа; .

З геометричної точки зору це означає, що інтегральна крива проходить через точку .

Приклад 3 . Розглянемо ДР . Зрозуміло, що розв’язання цього рівняння зводиться до знаходження первісної функції . Тому розв’язком буде функція

,

Рис.ДР_1

де С – довільна стала. Знайдемо тепер розв’язок, який задовільняє початковій умові . Маємо . .Отже, розв’язок зодовільняє заданій початковій умові. Рис.ДР_1 ілюструє також той факт, що ДР 1-го порядку має нескінченну множину розв’язків– сім’ю (семейство) інтегральних кривих, які залежать від параметру С, та в даному прикладі є сім’єю парабол, які утворені з параболи паралельним перенесенням уздовж осі Оу Задачею Коші (задачею з початковою умовою) для ДР.(1) називається задача відшукання розв’язку ДР (1), який задовольняє початковій умові, що задана:

Має місце теорема.

Теорема 1.( достатня умова єдиного розв’язку задачі Коші). Якщо функція неперервна в області і має в цієї області обмежену частинну похідну , а точка то задача з початковою умовою має єдиний розв’язок.

Розв’язок задачі Коші є частинним розв’язком ДР (1).