11. Невласні інтеграли

Перейдемо до узагальнення поняття визначеного інтеграла у напрямку, коли: проміжок інтегрування є нескінченним.

11.1. Невласний інтеграл по нескінченному проміжку

Нехай функція є інтегрованою на довільному проміжку . Покладемо за означенням

. (11.1)

Невласний інтеграл назвемо збіжним, якщо границя існує і скінченна (величина цієї границі приймається за значення невласного інтеграла). У протилежному разі цей невласний інтеграл називається розбіжним.

Цілком аналогічно визначаються невласні інтеграли:

, .

Приклад 1. Дослідити на збіжність інтеграли:

1) ; 2) .Розв’язання:1) .

Рис.11.1

Оскільки , то невласний інтеграл збігається і . З геометричної точки зору площа нескінченної криволінійноїтрапеції дорівнює (рис. 11.1).

б) . Оскільки границя не існує (не існує числа до якого прямує при ), то невласний інтеграл є розбіжним.

Приклад 2. Дослідити на збіжність інтеграл

. (11.2)

Розв’язання. Нехай . Тоді при та інтеграл (11.2) є

розбіжним. Якщо , то . Звідки при маємо

і, таким чином, інтеграл (11.2) збігається, причому

.

У тому разі, коли , то та інтеграл (11.2) є розбіжним. Отже, інтеграл (11.2) збігається при і розбігається при .

У розібраних вище прикладах відповідь на питання про збіжність або розбіжність інтеграла знаходили за допомогою первісної підінтегральної функції . При цьому у разі збіжності невласного інтеграла знаходили і його значення. Проте часто потрібно лише відповісти на питання, збігається чи розбігається невласний інтеграл, а для цього необов’язково знаходити . А саме, наприклад, невласний інтеграл (11.1) від додатної функції збігається тоді і тільки тоді, якщо при зростанні інтеграл є обмеженим зверху (див. теорему 4 підрозд. 3.6 посібника). У випадку, якщо інтеграл не є обмеженим, то інтеграл (11.1) розбігається (дорівнює ). На цьому заснована наступна ознака порівняння.

Теорема. Нехай , тоді:

1. інтеграл є збіжним, якщо інтеграл збігається;

2. інтеграл є розбіжним, якщо інтеграл розбігається.

Наслідок. Якщо для додатних функцій та існує скінченна границя

,

то обидва інтеграли , збігаються або розбігаються одночасно. Зокрема, якщо

,

то інтеграл збігається при і розбігається при .

Приклад 3. Дослідити на збіжність інтеграли:

1) ; 2) .

Розв’язання. Відзначимо, що елементарної первісної в обох випадках не існує.

1) Оскільки , а збігається, то на підставі теореми збігається і інтеграл ;

2



) . Отже, на підставі наслідку з теореми випливає, що інтеграл збігається при і розбігається при .

Збіжний інтеграл назвемо абсолютно збіжним, якщо збігається інтеграл . У випадку, коли інтеграл збігається, а інтеграл розбігається, будемо казати, що інтеграл збігається умовно. Слід зазначити, що із збіжності інтеграла випливає збіжність інтеграла .

Приклад 4. Дослідити на збіжність інтеграли: а) ;б) ;в) ;

г) ;д) .

Розв’язання.а) = , тобто, збігається.

а.1)

б) , збігається.

б.1)

в) , збігається.

в.1) .

г) ,збігається.При

обчисленні границі була використана формула (див. посібник,с.145) , зміст якої в тому, що показникова функція зростає швидше степеневої функції .

г.1) =

.

д) ,збігається.

д.1) .