43

Содержание

Введение	3
Теоретическая база. Методы решения	4
Решения задач целочисленного программирования	19
Теоретические выводы	37
Заключение	40
Список литературы	41
Приложение	42

Введение

Целочисленное программирование – раздел математического программирования, занимающийся решением задач в которых все или некоторые переменные принимают целочисленные значения.

В исследовании операций и в эконометрике довольно часто встречаются ситуации, когда управляемые переменные могут принимать лишь вполне определённые значения, по отношению к которым понятие бесконечно малой окрестности не имеет физического смысла. Таким образом, с точки зрения практического применения задач целочисленного программирования являются очень важным и имеют большое применение в таких задачах как распределение капиталовложения, задача коммивояжёра, задача о ранце, задача о назначениях и другие [1].

Целью данной курсовой работы является рассмотрение спектра задач целочисленного программирования, методов их решения и их экономического применения.

Основными задачами данной курсовой работы является:

1. Анализ и получение оптимальных решений;

2. Выявление проблем, связанных с получением оптимального решения;

3. Проработка всех направлений целочисленного программирования.

Используемые методы для анализа:

• графический метод;

• метод Гомори;

• метод ветвей и границ;

• методы динамического программирования;

• и другие.

1 Теоретическая база. Методы решения

Целочисленное программирование – раздел математического программирования в котором все или некоторые переменные должны принимать целочисленное значение. Если на все переменные наложено условие целочисленности задача называется полностью целочисленной; когда это условие относится лишь к некоторым переменным, задача называется частично целочисленной. Если при этом целевая функция и функции, входящие в ограничения, линенейные, то говорят, что данная задача является задачей линейного целочисленного программирования.

Разделим задачи целочисленного программирования на классы:

• Задачи которые сводятся к задачам целочисленного программирования, в которых переменные представляют собой физически не делимые единицы.

• Другим важным классом таких задач являются экстремальные комбинаторные задачи, переменные которых носят логический характер (х=0 или х=1). Такие переменные называются булевыми. К таким задачам относятся, например, задача выбора некоторого подмножества, обладающего какими-либо экстремальными свойствами.

• Задачи не требующие явного условия целочисленности, но сводящиеся к задачам целочисленного или частично целочисленного программирования.

Решение задачи целочисленного программирования сводится к следующим этапам:

1. Построение математической модели;

2. Решение математической модели выбранным методом;

3. Анализ полученных данных и принятие решения.

Первый этап решения задач целочисленного программирования – построение математической модели сводится к следующему алгоритму, который может быть модифицирован в зависимости от задачи, которая в свою очередь зависит от того к какому классу задач целочисленного программирования она относится:

• Формализация целевой функции приведена в формуле (1.1)

• Наложение ограничений показано в формулах (1.2).

В зависимости от условий конкретной задачи могут быть введены дополнительные ограничения на отдельные переменные, которые могут быть выражены, например, формулой (1.3)

где d_j, D_j – свободные коэффициенты.

После определения класса задач, построения математической модели следует этап решения задачи, который реализуется с помощью методов, таких как:

• графический метод решения задач;

• метод Гомори;

• метод ветвей и границ;

• и другие методы в зависимости от класса решаемых задач.

Рассмотрим методы решения задач целочисленного программирования:

1. Графический метод решения задач

Пусть заданы некоторые данные, которые сводятся к следующей математической модели.

Целевая функция и ограничения приведены в формулах 1.1.1 и 1.1.2.

На основании ограничений, условия не отрицательности, находим выпуклую область допустимых решений. Полученная область не полностью удовлетворяет ограничениям, так как не является множеством целочисленных решений, поэтому накладываем ограничения целочисленности. В результате получим систему точек и выпуклая область сменится на многогранник.

Для получения оптимального решения можно воспользоваться градиентом методом или параллельным переносом линии целевой функции.

В результате получаем оптимальное решение, то есть значение переменных, которые при подстановке в целевую функцию будут максимально её выражать при заданных ограничениях.

Практически любой класс линейного программирования может быть решён практически. Однако данный метод решения не может быть реализован или реализован с большими временными затратами при количестве переменных равным 3 и более. Поэтому данный метод не будет рассмотрен в практической части.

2. Метод Гомори.

Данный метод основан на симплексном методе.

Исходные данные приведены в формулах (1.2.1) и (1.2.2).

На первом этапе данная задача решается симплекс-методом, если полученное решение не целочисленное, то вводим дополнительное ограничение, которые должны быть:

• линейным;

• отсекать найдённый оптимальный не целочисленный план;

• не должно отсекать ни одного целочисленного плана.

Дополнительное ограничение обладающие этими свойствами называются правильным отсечением[2].

Ограничение накладывается на нецелочисленную переменную или на ту переменную, которая имеет большее дробное значение. Ограничение накладывается на не целочисленную переменную через не основные переменные. Ограничение составляется используя следующее правило: дробная часть свободного члена берётся с тем же знаком, который он имеет и в уравнении, а дробные части неосновных переменных – с противоположным знаком и выделяется положительная дробь. Например, {a}=a, {-a}={-A+a^*}, где А – целая часть отрицательное число, а^*-положительная дробь.

Получаем новое ограничение, вводим новую основную переменную, приведённое в формуле (1.2.3).

где x_n+1 – нововведённая переменная,

x_{j –} переменные не входящие в базис.

Новое ограничение следует вводить в последний этап симплекс метода, когда все переменные имеющиеся в целевой функции, так же входят в базис.

Полученное базисное решение всегда не допустимое, соответствующее правильному отсечению.

Для получения допустимого базисного решения необходимо перевести в основные переменную, входящую с положительным коэффициентом в уравнение, в котором свободный член отрицательный [2].

При выборе какую переменные ввести в базис взамен нововведённой, следует выразить эти переменные и следую логическому рассуждения, подставить в базис ту переменную которая даёт целочисленное решение на наложенное ограничение.

Введение новых ограничений следует производить, если не получено целочисленное решение, после решения на первом этапе симплекс-методом и после введения новых ограничений.

Если в процессе решения появится выражение с нецелым свободным членом и целыми остальными коэффициентами, то соответствующее уравнение не имеет решения в целых числах. В этом случае и данная задача не имеет целочисленного оптимального решения[2].