2.Значение и применение быстрого преобразования Фурье Использование двумерного дискретного преобразования Фурье для обработки изображений

Двумерное дискретное преобразование Фурье является преобразованием Фурье для последовательности конечной длины, являющееся само по себе также конечной последовательностью, а не непрерывной функцией, и соответствует равноудаленным по частоте выборкам преобразования Фурье-сигнала. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) играет центральную роль в разработке ряда алгоритмов обработки сигналов вследствие существования эффективных алгоритмов вычисления ДПФ. Представление двумерной последовательности дискретным преобразованием Фурье имеет большое значение при дискретной обработке двумерных сигналов (фотографии, изображения и т.п.). Двумерное ДПФ может быть описано следующим образом:

, (13)

где – функция, описывающая исходное прямоугольное изображение, состоящее из N строк и M столбцов;

– Фурье‑образ изображения ;

– мнимая единица;

, .

Зависимость (4) может быть представлена следующим образом:

, (14)

где ,

Число является комплексным, поэтому с учетом равенства зависимости (13) и (14) соответственно примут вид:

, (15)

(16)

Из выражения (15) можно выразить коэффициенты и , определяющие действительную и мнимую части числа :

, (17)

. (18)

Повышение быстродействия преобразования Фурье на основе быстрого двумерного преобразования Фурье

Использование алгоритма дискретного преобразования Фурье является не очень практичным вследствие больших затрат времени на его реализацию. Поэтому на практике используют алгоритмы быстрого преобразования Фурье (БПФ). В БПФ обычно число данных ограничено и выражено степенью с основанием 2 (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, …). Но, несмотря на это ограничение, БПФ всё равно используется благодаря практичности и высокой скорости вычислений.

БПФ – это алгоритм вычисления, который успешно использует свойства периодичности тригонометрических функций для того, чтобы избежать ненужных вычислений в дискретном преобразовании Фурье.

При вычислении ДПФ для значений необходимо умножить раз и сложить раз. Если невелико, как в приведенном примере, то объем вычислений тоже мал, но если , например, равно 1000, то число операций достигает 1000000, что крайне затрудняет аппаратную реализацию алгоритма.

Алгоритм вычисления БПФ называется методом вычисления "бабочкой". Так, для одномерной 4‑точечной функции он выглядит следующим образом:

, (19)

, (20)

, (21)

, (22)

где – комплексный член дискретного ряда Фурье;

;

– число точек функции .

Вычисление совокупности зависимостей (19) – (21) осуществляется в 2 этапа. На 1‑м этапе осуществляется нахождение следующих коэффициентов:

, (23)

, (24)

, (25)

. (26)

На 2‑м этапе на основе значений ( ) вычисляются коэффициенты ( ) 4‑точечного БПФ:

,

,

,

.

Одним из главных пунктов в алгоритме быстрого преобразования Фурье является метод вычисления "бабочкой". Еще один важный момент заключается в последовательных разбиениях ряда значений сигнала на две группы и перестановке значений сигнала таким образом, чтобы в последующем перейти к методу вычисления "бабочкой". Способ перестановки значений функции называется техникой сортировки. Техника сортировки основана на перестановке разрядов. Ряд значений функции расстанавливается в порядке , , , (в случае БПФ из 4‑х членов) и в порядке , , , , , , , (в случае БПФ из 8‑и членов). Таким образом, значение индекса получается из исходного перестановкой старших и младших разрядов. Это правило является универсальным для любого числа членов ряда.

Например, двумерное 32x32‑точечное БПФ вычисляется путем вычисления коэффициентов для каждой строки изображения за счет последующего их умножения на величину :

, (27)

, (28)