
- •Спасское Городище 2012
- •Введение
- •Список обозначений и терминов
- •Немного о бейсиКе
- •Наивная теория множеств.
- •Декартовы произведения
- •Натуральные числа
- •Рекурсия
- •Порядок на множестве натуральных чисел
- •Делимость натуральных чисел
- •Делимость целых чисел
- •Алгоритм Евклида
- •Матричная трактовка алгоритма Евклида
- •Элементы логики
- •Высказывательные формы
- •Матричная алгебра
- •Определители
- •Обратная матрица
- •Компьютерная реализация матричной алгебры
- •Линейные преобразования плоскости
- •Комплексные числа
- •Конструкция поля комплексных чисел.
- •Сопряжение комплексных чисел
- •Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
- •Комплексная экспонента
- •Решение квадратных уравнений.
- •Основная теорема алгебры комплексных чисел
- •Алгебраические системы
- •Операции и отношения на множестве
- •Моноиды
- •Поля и тела
- •Подсистемы алгебраических систем
- •Декартово произведение алгебраических систем
- •Фактор системы
- •Изоморфизм алгебраических систем
- •Абелевы группы
- •Группа подстановок
- •Алгебра многочленов
- •Немного комбинаторики
- •Биномиальные коэффициенты
- •Числа Фибоначчи
- •Рациональные числа
- •Дерево Штерна-Брокко
- •Алгебра высказываний
- •Дизъюнктивная совершенная нормальная форма.
- •Конъюнктивная нормальная совершенная форма
- •Многочлены Жегалкина
- •Алгебра кватернионов.
- •Литература
Декартовы произведения
Упорядоченная
пара, или просто пара элементов
это одна из фундаментальных конструкций
в математики. Представлять её можно как
полочку с двумя местами -- первым и
вторым. Очень часто в математике неважно
как на самом деле устроен тот или иной
объект, а важны правила обращения с ним.
Подобно этому при игре в шахматы
совершенно неважно из чего сделаны
фигуры и какой они в точности формы, --
важны лишь правила игры. Правило обращения
с парой одно:
(
-- логический знак, заменяющий слова
"тогда и только тогда, когда", "если
и только если" и т.п.) Далее индуктивно
можно строить упорядоченные тройки
элементов, четверки элементов и т. д.:
Декартовым
произведением
двух множеств M и N
называется множество всех пар (m,n),
где m пробегает M,
а элемент n пробегает N.
Существование пары элементов и
существование декартова произведения
-- очередные аксиомы теории множеств.
ПРИМЕР.
Если
и
,
то
Общее правило подсчета элементов в декартовом произведении (правило умножения) таково:
Натуральные числа
Числа {1,2,3,… }, которые можно получить из единицы операцией сложения, называют натуральными и обозначают ℕ. Аксиоматическое описание натуральных чисел может быть таким (см. [М, стр. 115]): это множество ℕ на котором имеется выделенный элемент 1∈ ℕ (0-арная операция) и имеется унарная операция прибавления единицы, сопоставляющая всякому натуральному числу n натуральное число n+1, причем выполняются следующие аксиомы:
(N1) для любого натурального числа n результат n+1 не равен единице;
(N2) для любых двух натуральных чисел из равенства n+1=m+1 вытекает равенство n=m;
(N3) (метод математической индукции) пусть 𝒜 〈n〉 -- какая-либо высказывательная форма с переменной n∈ ℕ. Если высказывание 𝒜 〈1〉 верно, и для любого натурального n из 𝒜 〈n〉 вытекает 𝒜〈 n+1〉 , то утверждение 𝒜 〈n〉 верно для всех натуральных n.
Реальной
интерпретацией натуральных чисел может
служить какое-либо вместилище (коробка,
мешок и т.д.) однородных объектов (камней,
шаров, монет и т.д.). Другая, геометрическая
интерпретация, -- отрезки на прямой ℓ,
которые получаются в результате
откладывания с помощью циркуля выбранного
заранее единичного отрезка.
Теоретико-множественная интерпретация,
а точнее рекуррентное построение системы
натуральных чисел вместе с нулем
заключается в том, что мы полагаем
и для каждого следующего натурального
полагаем
.
Тогда
Рекурсия
От аксиом
N1-N3 до знакомых всем с начальной школы
операций сложения и умножения натуральных
чисел, сравнения натуральных чисел
между собой и свойств вида "от перемены
мест слагаемых сумма не изменится"
большая дистанция. Зачастую доказательство
таких утверждений есть формальные
проверки с многократным использованием
метода математической индукции.
Принципиальный момент – рекурсивные
определения сложения и затем умножения
натуральных чисел. В общем виде рекурсия
-- это метод построения или вычисления,
когда каждый следующий объект строится
(вычисляется) на основе предыдущих.
Абстрактно рекурсия в простейшем виде
описывается отображением F:M
→ M и
начальным значением
.
Далее объект
вычисляется как
в предположении, что
уже известен.
Метод
математической индукции показывает,
что тогда мы получаем отображение
или последовательность объектов из
множества M. Сама формула
называется рекуррентной и ее использование
возможно лишь, если явно задано начальный
объект
.
Определим сложение посредством рекуррентной формулы m+(n+1):=(m+n)+1. Например,
Умножение определяется явным заданием формулы умножения на единицу: m⋅ 1:=m, а также рекуррентной формулы m⋅ (n+1):=m⋅ n+m. В частности, единица есть нейтральный элемент операции умножения. Далее доказываются фундаментальные свойства операций сложения и умножения
Ассоциативность:
для любых чисел
выполняются равенства
Здесь специально вместо выражения "для любых натуральных чисел" употребляется выражение "для любых чисел"; эти фундаментальные свойства верны для всех чисел.
Докажем, например, ассоциативность сложения индукцией по k. Для k=1 получаем формулу (m+n)+1=m+(n+1). Это равенство справедливо для всех натуральных чисел m и n по определению сложения. Допустим теперь, что равенство (m+n)+k=m+(n+k) для некоторого k и при любых m и n установлено и теперь нам надо проверить аналогично равенство для k+1:
Здесь во втором равенстве использовано предположение индукции, а в остальных использовано определение сложения. Ассоциативность сложения доказана в силу принципа математической индукции (см. аксиому N3). Аналогично проверяются остальные свойства сложения и умножения.
Присоединим к множеству натуральных чисел элемент ноль 0, обладающий свойствами
для любого
n∈ ℕ
. Получаем множество
всех целых неотрицательных целых чисел,
для которых перечисленные выше свойства
ассоциативности, коммутативности и
дистрибутивности сохраняются.