Абелевы группы
ТЕОРЕМА 1. Подгруппа циклической группы циклична.
Доказательство.
Пусть
-- циклическая группа порядка
(
и
-- ее подгруппа. Рассмотрим отображение
переводящее целое число
в степень
.
Проверим, что прообраз,
,
есть подгруппа в аддитивной группе
целых чисел. Если
,
то
-- циклическая (единичная) подгруппа.
Иначе, рассмотрим наименьшее натуральное
число
принадлежащее
.
Ясно, что
.
Докажем обратное включение. Пусть
.
Поделим
на
с остатком:
.
Тогда
.
В силу минимальности
должно выполняться равенство
,
тем самым
.
Следовательно, равенство
доказано. Тогда
-- циклическая группа.
СЛЕДСТВИЕ.
Все подгруппы аддитивной группы целых
чисел имеют вид
,
где
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
1. Группа
называется конечно порожденной, если
существует конечный набор элементов
,
называемый порождающими элементами,
который порождает группу
.
Это значит, что всякий элемент
представим в виде
,
где каждый из
либо порождающий элемент, либо обратен
к порождающему элементу. Для абелевой
группы
набор
будет порождающим, если и только если
выполняется равенство
Далее мы будем иметь дело с группой целочисленных строк фиксированной длины :
Заметим, что она порождается элементами
набор которых
называется стандартным базисом. Вообще
же элементы
называются базисом абелевой группы,
если любая другая строка
может быть единственным образом записана
в виде
для некоторых целых
–ых.
ТЕОРЕМА 2. Строки
образуют базис в группе
тогда и только тогда, когда
и
Доказательство.
Если строки
образуют базис в
,
то они же образуют базис линейного
пространства
.
Потому
.
Далее, выразим каждую строку стандартного
базиса через
-ые:
На матричном
языке это значит, что
-- единичная матрица. Вычисляя определитель
левой и правой части, получим
Так как слева в этом равенстве стоят
целые числа, то каждое из них есть либо
1 либо -1.
Наоборот,
если
и
,
то матрица
обратима над кольцом целых чисел (см.
формулу обратной матрицы). Значит
существует целочисленная
-матрица
такая, что
.
Следовательно, для любой строки
выполняется равенство
Разложимость
доказана. Единственность разложения
следует из того, что
-- базис линейного пространства
.
□
Рассмотрим
отображение
такое, что
(здесь группа
А задана соотношением (1)). Определим
ядро
отображения (4) как совокупность строк
таких, что
.
Прямая проверка убеждает нас в справедливости следующего утверждения.
ЛЕММА 1. Ядро -- подгруппа в группе строк .
ЛЕММА 2.
Фактор-группа
изоморфна A.
Доказательство.
Изоморфизм
задается правилом
.
□
ТЕОРЕМА 3. Любая подгруппа группы строк конечно порождена и более того, имеет базис не более чем из элементов.
Доказательство
– индукция по
.
Случай
(база индукции) есть утверждение теоремы
1. Предположим для размерностей меньших
утверждение теоремы 3 справедливо, и
-- подгруппа группы
.
Обозначим через
проекцию на первую координату, т.е.
.
Образ
есть подгруппа в
и поэтому она имеет вид
для некоторого
.
Выберем строку
такую, что
и обозначим
.
Лемма показывает (при
и
),
что
-- подгруппа. При этом
.
Индукционное предположение дает нам
базис
группы
,
состоящий из
элемента
и
.
Тогда
-- базис группы
.
Действительно, если
,
то найдется целое
такое, что
.
Отсюда
и поэтому
.
Тогда найдутся целые
такие, что
,
откуда
Разложение
доказано. Единственность разложения
(5) достаточно доказать для нулевого
и в предположении ненулевого
.
Итак, пусть
.
Применяя проекцию
к левой и правой части этого равенства,
получим
,
откуда
Равенство
возможно только при нулевых
,
что показывает предположение индукции.
□
ТЕОРЕМА 4. Пусть – подгруппа в . Тогда в найдется базис такой, что
для некоторых
целых неотрицательных
таких, что
при
.
Доказательство
сведем к элементарным преобразованиям
целочисленных матриц. Согласно теореме
3 найдется базис
подгруппы
,
состоящий не более чем из
элементов. Запишем
и составим
-матрицу
.
Элементарные преобразования строк этой
матрицы соответствуют замене базиса
подгруппы
,
а элементарные преобразования столбцов
этой матрицы соответствуют замене
базиса группы
.
Таким образом,
на матричном языке утверждение теоремы
звучит так: любую целочисленную матрицу
элементарными преобразованиями строк
и столбцов можно привести к диагональному
виду
,
где
при
.
Доказательство этого утверждения ведем
индукцией по размеру матрицы
.
База индукции:
-- очевидный случай. Пусть
равен НОД всех элементов матрицы
.
Пользуясь алгоритмом Евклида, элементарными
преобразованиями строк и столбцов
поместим
на место (1;1). Все элементы получившейся
матрицы (как, впрочем, и исходной матрицы
)
делятся на
.
Тогда элементарными преобразованиями
строк мы можем занулить все элементы
первого столбца, стоящие под
.
Далее, элементарными преобразованиями
столбцов зануляем все элементы первой
строки, стоящие правее
.
Матрица
приобретает блочный вид
Остается применить индукционное предположение к подматрице, отмеченной звездочками. □
СЛЕДСТВИЕ.
Любая конечнопорожденная абелева группа
есть прямая сумма циклических групп с
порядками
,
где
при
Доказательство.
Пусть
и
– ядро эпиморфизма (4). Тогда группа
изоморфна фактор-группе
.
Найдем в
и
согласованные базисы, т.е. базис
пространства строк
и натуральные числа
такие, что
при
,
кроме того
и
есть базис группы
.
Тогда
что и требовалось доказать. □