Тема 4. Средние величины.

4.1. Имеются данные о заработной плате бригады строителей по профес-сиям.

Табл. 4.1

Монтажники		Слесари-сантехники		Сварщики
Заработная плата, руб.	Число рабо чих, чел.	Заработная плата, руб.	Число рабо чих, чел.	Заработная плата, руб.	Число рабо чих, чел.
9000	1	10500	2	12000	5
9300	1	10650	2	13500	3
9600	1	10410	2	15000	2
Итого	3		6		10

Определите среднюю заработную плату рабочих по профессии и в целом по бригаде.

Решение

Исчислим среднюю заработную плату для монтажников. В данном слу-чае веса (частоты) равны единице, следовательно, расчет средней заработной платы монтажников произведем по формуле средней арифметической прос-той:

Хср = ∑Х / n = (9000 + 9300 + 9600) / 3 = 27900 / 3 = 9300 руб.

Если в рядах распределения веса (частоты) равны между собой (слесари-сантехники), то расчет производится тоже по формуле средней арифметической простой.

Следовательно, средняя заработная плата слесарей-сантехников будет равна:

Хср = ∑Х / n = (10500х2 + 10650х2 + 10410х2)/6 = 31560/3 = 10520 руб.

Если же частоты имеют различные качественные значения (сварщики), то средняя заработная плата определяется по формуле средней арифметиче-ской взвешенной:

Хср = ∑Хf / ∑f = (12000х5 + 13500х3 + 15000х2)/10=130500/10=13050 руб.

Средняя заработная плата рабочих по бригаде строителей может быть оп-ределена двумя способами:

1. как средняя арифметическая взвешенная из групповых средних:

Хср=∑Xif/∑f=(9300x3+10520x6+13050x10)/19=221520/19=11659 руб.;

2. как отношение фонда оплаты по группам профессий к общей численно-сти рабочих этих групп:

Хср=(27900+63120+130500)/19=221520/19=11658,9.

4.2. Имеются сведения о ценах реализации мяса на ярмарке города в базис-ном и отчетном периодах.

Табл. 4.2.

Категория мяса	Базисный период			Отчетный период
	Цена за кг (х)	Продано кг (f)	Выручка (х∙ f)	Цена за кг (х1)	Выручка (х1∙ f)
1	200	100	20000	200	100000
2	190	200	38000	180	180000
Итого:		300	58000		280000

Определить среднюю цену реализации мяса в базисном и отчетном периодах.

Решение

Средняя цена в базисном периоде определяется исходя из экономического содержания по формуле средней арифметической взвешенной:

Хср = ∑хf /∑f = 58000 / 300 = 193,3 руб.

В отчетном периоде известны выручка и цена, количество товара неизве-стно. Для получения количества проданного мяса нужно выручку разделить на цену, а затем всю выручку разделить на полученный результат. Таким об-разом, в данном примере необходимо использовать среднюю гармоническую взвешенную:

Хср=∑м/∑(м/х)=(100000+180000)/(100000/(100000/200+180000/180) = 280000/(500+1000)=186,7 руб.

4.3. Имеются данные о возрастном составе студентов дистанционной формы обучения по одному из учебных заведений области: 18, 35, 36, 28, 26, 38, 34, 22, 28, 30, 32, 23, 25, 33, 27, 24, 30, 32, 28, 25, 29, 26, 31, 24, 29, 27, 32, 26, 29, 27.

Для анализа распределения студентов дистанционной формы обучения требуется:

1. построить интервальный ряд распределения;

2. дать графическое изображение ряда;

3. исчислить показатели центра распределения, сформировать вывод.

Решение

1. Для построения интервального ряда определим величину интервала группировки:

i = (Xmax – Xmin) / n; n – примем равным 5.

i = (38 – 18) / 5 = 4 года.

Табл. 4.3. Интервальный ряд распределения

Группы студен-тов по возрасту (лет) х	Число студентов (чел) f	Накопленная частота S1	Середина интервала Х′=х/2
18-22	2	2	20
22-26	8	10	24
26-30	9	19	28
30-34	8	27	32
34-38	3	30	36
Итого	30

2. Графически вариационный интервальный ряд может быть представлен в виде гистограммы, полигона, кумуляты.

Гистограмма, полигон и кумулята строятся в прямоугольной системе ко-ординат. На рис. 4.1 показана гистограмма и полигон распределения. Для преобразования гистограммы в полигон распределения середины верхних сторон прямоугольников соединяют отрезками прямой, и две крайние точки прямоугольников замыкаются на оси абсцисс на середине интервалов.

‌

‌

‌

‌‌________________________________________

Рис. 4.1. Гистограмма, полигон распределения студентов по возрасту

На основе построения гистограммы графически можно определить моду. Для этого правую вершину модального прямоугольника соединяют прямой с правым углом предыдущего прямоугольника, а левую вершину модального прямоугольника соединяют с левым углом последующего прямоугольника. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения (Мо=28 лет).

Для графического определения медианы используется кумулята (рис. 4.2). Кумулята строится по накопленным частотам, Мс ≈ 28,5 года.

3. Расчет показателей центра распределения: Хср = ∑х′f /∑f, где х′ - сред-нее значение признака в интервале или цент интервала (х′=х/2) = (20х2 + + 24х8 + 28х9 + 32х8 + 36х3) / 30 = 848 / 30 = 28,3 года. Средний возраст сту-дентов дистанционного обучения 28 лет.

______________________________________

Рис. 4.2. Кумулята распределения студентов

Найдем структурные средние Мо и Мс:

Мо=хо+i∙{(fmo – fmo-1)/[fmo – fmo-1 + (fmo – fmo+1)]}=26+4∙{(9 – 8)/[(9 – 8) + + (9 – 8)]}=26+4∙[1/(1+1)]=28.

Значение полученной моды по формуле соответствует значению моды, полученной на графике.

Мс=хmc+i∙[(∑f/2 – Smc-1)/fmc]=26+4∙[(30/2 – 10)/9]=28,44 года.

На графике Мс = 28,5, что соответствует расчетным данным.