16. Сформулювати центральну граничну теорему. Довести інтегральну теорему Муавра-Лапласа та її частинні випадки.

Центральна гранична теорема. Зокрема, якщо всі ВВ однаково розподілені, то закон розподілу їх суми при необмежено наближається до нормального.

Інтегральна теорема Муавра-Лапласа. Для біноміально розподіленої ДВВ - частоти появи події з імовірністю в серії із НПВ справедлива наближена формула:

,

де - інтегральна функція Лапласа, .

Доведення.

Частинні випадки інтегральної теореми Муавра-Лапласа . Для частоти та частості появи події з імовірністю в серії із НПВ справедливі наближені формули:

,

.

17. Статистичний розподіл ознаки. Статистична сукупність. Кількісні та якісні ознаки. Варіанта та її частоти або частки. Дискретні варіаційні ряди та їх полігони частот або часток ознаки. Інтегральні варіаційні ряди та їх гістограми щільності частот (часток) ознаки. Характеристики варіаційного ряду: варіаційний розмах, коефіцієнт варіації, середнє значення та дисперсія ознаки у даній статистичній сукупності.

Нехай потрібно вивчити сукупність об’єктів відносно деякої якісної або кількісної ознаки (випадкової величини), які характеризують ці об’єкти. Кожен об’єкт, який спостерігають, має декілька ознак. Розглядаючи лише одну ознаку кожного об’єкта, ми припускаємо, що інші ознаки рівноправні, або що множина об’єктів однорідна.

Такі множини однорідних об’єктів називають статистичною сукупністю.

Якщо досліджують партію деталей, то якісною ознакою може бути стандартність або нестандартність кожної деталі, а кількісною ознакою – розмір деталі. Кількісні ознаки бувають дискретними та неперервними.

В математичній статистиці замість слова “дані” вживається термін “варіанти”. Додатне число, що вказує, скільки раз та чи інша варіанта зустрічається в таблиці даних, називається частотою, а ряд називається рядом частот.

Дискретним варіаційним рядом розподілу називається ранжирувана сукупність варіантів хi з відповідними їм частотами або частостями.

Полігоном частот називають ламану, відрізки якої з’єднують точки .

Полігоном часток (частостей або відносних частот) називають ламану, відрізки якої з’єднують точки .

Ці полігони слугують для графічного зображення дискретних варіаційних рядів.

Інтервальним варіаційним рядом називається упорядкована сукупність інтервалів варіювання значень випадкової величини з відповідними частотами або частості попадань в кожний з них значень величини.

Гістограмою частот називають ступінчасту фігуру, що складається з прямокутників, основами яких є частинні інтервали варіант довжиною , а висоти дорівнюють (щільність частоти). Площа гістограми частот дорівнює об’єму вибірки.

Гістограмою часток (частостей або відносних частот) називають ступінчасту фігуру, що складається з прямокутників, основами яких є частинні інтервали варіант довжиною , а висоти дорівнюють (щільність частки).

Різниця чисел

називається варіаційним розмахом або розмахом варіант.

Вибірковою середньою або вибірковою зваженою середньоарифметичною називають середню арифметичну варіант вибірки із урахуванням їх частостей і позначають

,

Вибірковою дисперсією називають середню (зважену) квадратів відхилення варіант від вибіркової середньої:

.

Коефіцієнт варіації - відношення середнього квадратичного відхилення до середнього арифметичного