6. Математичне сподівання дискретної випадкової величини та його властивості. Довести (на вибір) три з них.

Математичним сподіванням (середнім значенням або центром розподілу) ДВВ X називається сума добутків всіх її значень на відповідні ймовірності, тобто .

ВЛАСТИВОСТІ МАТЕМАТИЧНОГО СПОДІВАННЯ.

1. МС сталої ВВ дорівнює самій цій сталій: M(c)=c

Доведення:

2. Сталий множник виноситься за знак МС: M(cX)=cM(X)

Доведення:

3. МС суми ВВ дорівнює сумі їх МС: M(X+Y)=M(X)+M(Y)

Наслідок. МС різниці ВВ дорівнює різниці їх МС: M(X-Y)=M(X)-M(Y)

4. МС добутку (незалежних) ВВ дорівнює добутку їх МС: M (XY)=M(X)M(Y).

5. МС центрованої ВВ X-M(X) дорівнює нулю:M[X-M(X)]=0.

Доведення:

7.Дисперсія дискретної випадкової величини та її властивості. Довести (на вибір) три з них. Середнє квадратичне відхилення.

Дисперсією ДВВ називається МС квадрата відхилення ВВ від свого МС, тобто:

.

Дисперсія (якщо вона існує) має розмірність квадрата ВВ, є невипадковою сталою невід’ємною величиною, що характеризує розсіювання значень ВВ від центру розподілу – МС. 1.Дисперсію можна знаходити за формулою: Доведення:

2. Дисперсія сталої дорівнює нулю: D(C)=0

Доведення. D(c)= за власт. МС = c^2-c^2=0

3. Сталий множник виноситься за знак дисперсії в квадраті: D(cX)=c^2D(X).

Доведення. D(cX)= за 1 власт.= M[(cx)^2 – M^2 [cx]= за вл. МС=

4. Дисперсія суми незалежних ВВ дорівнює сумі їх дисперсій: .

Наслідок. Дисперсія різниці незалежних ВВ дорівнює сумі їх дисперсій: D(X-Y)=D(X)+D(Y)

Наслідок. Дисперсія центрованої ВВ X-M(X)співпадає із дисперсією самої ВВ X, а дисперсія стандартизованої ВВ дорівнює одиниці.

5. Якщо ВВ X та Y залежні, то: , де - коваріація між ВВ X та Y.

6. Дисперсія добутку незалежних ВВ дорівнює:

D(XY)=M(X^2)M(Y^2)-M^2(X)M^2(Y).

7. Дисперсія середнього арифметичного незалежних ВВ дорівнює:

.

Важливий висновок: при вимірюваннях (дослідженнях) в якості остаточного результату беруть середньоарифметичну усіх результатів. При цьому похибки від точного значення зменшуються на к-сть результату.

Для того, щоб мати аналогічну характеристику такої ж розмірності як сама ВВ, розглядають середнє квадратичне відхилення (стандарт):

8. Незалежні повторні випробування – НВП. НВП як випробування, проведені за схемою “повернених куль”. Виведення формул для математичного сподівання, дисперсії та середнього квадратичного відхилення частоти та відносної частоти в схемі незалежних повторних випробувань.

Означення. Якщо серію n випробувань проводити в однакових умовах і імовірність появи події A в кожному окремому випробуванні однакова та не залежить від появи або непояви події A в інших випробуваннях, то таку послідовність НПВ називають схемою Бернуллі.

Прикладами НПВ є: кидки монети ( подія A - випадіння цифри), діставання кулі за схемою «повернених куль» із урни з різнокольоровими кулями ( подія A - діставання кулі певного кольору), контроль якості серії виготовлених автоматом деталей (подія A - бракована деталь) тощо.

Теорема. Нехай проводиться n НПВ за схемою Бернуллі і ймовірність появи події A в кожному із випробувань p = P(A) незмінна (ймовірність непояви події A в кожному із випробувань ). Тоді імовірність того, що подія A з’явиться m разів у n НПВ знаходиться за формулою Бернуллі:

9.Формула Бернуллі. Біноміальний закон розподілу ймовірностей (закон Бернуллі). Найімовірніша частота (мода) настання події. Локальна теорема Лапласа. Формула Пуассона. Закон рідкісних подій (закон Пуассона).

Біноміальным законом розподілу ДВВ X називають ДВВ X = m – частоту появи події A у n НПВ, таблиця розподілу якої має наступний вигляд

	0	1	…	n
P = Pm,n	P0,n	P1,n	…	Pm,n

M(m) = np; D(m) = npq;

Найімовірнішою частотою m0 (або модою) появи події A у n НПВ називають частоту, для якої .

За означенням із системи умов

неважко дістати подвійну нерівність для визначення найімовірнішої частоти:

.

Теорема (локальна формула Муавра-Лапласа). Якщо у схемі Бернуллі із n НПВ імовірність появи події A дорівнює p ( 0 < p < 1 ), а кількість НПВ досить велика, то імовірність появи події A m разів у n НПВ наближено дорівнює (тим точніше, чим більше n ):

Формула Пуассона :

Означення. При виконанні умов теореми Пуассона ВВ Х = m ( яка приймає нескінченну злічену множину значень m = 0,1,2/// , а відповідні імовірності знаходяться за формулою де a = const >0 ) називають розподіленою за законом Пуассона ( закон рідкісних подій).