3. Довести теорему суми ймовірностей та 3 наслідки з неї.

Теорема. Імовірність суми двох подій A і B дорівнює сумі імовірностей цих подій без імовірності їх добутку. Іншими словами, імовірність появи хоча б однієї із двох подій дорівнює сумі їх імовірностей без імовірності їх сумісної появи:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Доведення:

= P (A) + P (B)-P(AB)

Наслідок 1. Імовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі їх імовірностей: P(A+B)=P(A)+P(B).

Наслідок 2. Сума імовірностей подій A1, А2,.....,Аn, що утворюють повну групу, дорівнює одиниці:

P (A1)+P(A2)+….+P(An)=1

Доведення:

Наслідок 3. Для взаємно протилежних подій A і

Доведення випливає із попереднього наслідка 2.

Наслідок4. Імовірність появи хоча б однієї із подій A1,A2,…..,An дорівнює:

Зокрема, якщо події незалежні в сукупності, то:

.

Доведення:

4. Довести теореми (формула повної ймовірності та формули Байєса).

Теорема. Нехай подія A може настати лише сумісно з хоча б однією із подій-гіпотез H1, H2….Hn , які утворюють повну групу. Тоді імовірність (повна імовірність) події A дорівнює:

тобто сумі добутків ймовірностей гіпотез на умовні ймовірності події, при умові, що настала відповідна гіпотеза

Доведення:

Формули Байєса.

Теорема. Нехай подія A може настати лише сумісно з хоча б однією із подій-гіпотез H1, H2….Hn , які утворюють повну групу. Якщо подія A настала, то умовні (уточнені) імовірності гіпотез дорівнюють:

, i=1,2,…….,n

де повна імовірність

Доведення:

Зазначимо, що виконуються усі умови теореми – формули повної ймовірності. Розглянемо одну із подій AHi і скористуємось теоремою добутку:

P(AHi)=P(A)Pa(Hi)=P(Hi)Phi(A).

Звідси:

, де P(A) - повна імовірність.

5. Дискретні випадкові величини – двв. Закони розподілу ймовірностей для двв. Операції над дискретними випадковими величинами.

Випадковою величиною (ВВ) називається величина, яка в результаті випробування в залежності від випадкових обставин може набувати деякого (але тільки одного) значення.

Дискретною випадковою величиною (ДВВ) називається ВВ, яка може приймати окремі ізольовані значення з певними ймовірностями (причому кількість можливих значень або скінченна, або нескінченна, але злічена). На відміну від ДВВ, значення неперервних ВВ повністю заповнюють деякий проміжок (скінченний або нескінченний).

ВВ вважається заданою, якщо задано її закон розподілу.

Законом розподілу ДВВ називається відповідність між множиною її можливих значень та відповідними імовірностями (тобто, імовірностями, з якими можуть набуватись ці значення).

Основними способами задання законів розподілу ДВВ є табличний, графічний та аналітичний.

ДВВ задано таблицею:

Хі- можливі різні значення ВВ Х; pі – відповідні ймовірності

Наочною формою задання ДВВ є графічний спосіб, при якому в системі координат XoP відкладають точки (Xi;pi) і з’єднують їх відрізками.

При аналітичному способі задання закону розподілу ДВВ X вказують формулу (функцію), за якою знаходяться відповідні ймовірності , або задають так звані функції розподілу.

Добутком ВВ X на сталий множник k називається ВВ kX , яка набуває можливих значень kxi з тими ж імовірностями pi, що і ВВ X.

k-им степенем (k=2,3….) ВВ X називається ВВ , яка приймає значення з тими ж імовірностями pi, що і ВВ X.

Сумою (різницею або добутком) двох незалежних ВВ X та Y називається ВВ X+Y ( X-Y або XY ), яка приймає всі можливі значення xi + pj (xi - yj або xiyj ) з ймовірностями pij, що знаходяться за теоремою добутку: